数项级数的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,第九章,常数项级数的概念和性质,二、常数项级数的概念,三、无穷级数的基本性质,四、级数收敛的必要条件,第一节,第九章,一、问题的提出,一、问题的提出,1.,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1.,级数的定义,:,(,常数项,),无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2.,级数的收敛与发散,:,余项,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,已知级数为等比级数，,解,例,4.,判别级数,的敛散性,.,解,:,故原级数收敛,其和为,三、基本性质,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,结论,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,解,性质,3.,在级数中去掉、加上或改变,有限项,不会,影响级数的敛散性,.,证,:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同,.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况,.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和,.,证,:,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论,:,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,.,因此必有,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,收敛,发散,例,6.,判断级数的敛散性,:,解,:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散,.,四、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证,:,可见,:,若级数的一般项不趋于,0,则级数必发散,.,例如,其一般项为,不趋于,0,因此这个级数发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,:,并非级数收敛的充分条件,.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散,.,事实上,假设调和级数收敛于,S,则,但,矛盾,!,所以假设不真,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,一、正项级数及其审敛法,1.,定义,:,这种级数称为正项级数,.,2.,正项级数收敛的充要条件,:,定理,部分和数列 为单调增加数列,.,证明,即部分和数列有界,3.,比较审敛法,不是有界数列,定理证毕,.,比较审敛法的不便,:,须有参考级数,.,解,由图可知,重要参考级数,:,几何级数,P-,级数,调和级数,.,证明,4.,比较审敛法的极限形式,:,设,=,1,n,n,u,与,=,1,n,n,v,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性,;,(2),当,时，若,收敛,则,收敛,;,(3),当,时,若,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,;,证明,由比较审敛法的推论,得证,.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点,:,不必找参考级数,.,两点注意,:,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,级数收敛.,习惯塑造人生,从自己的经历谈什么事先做起来,教育就是养成习惯,叶圣陶,.,一个人不想做某事，可以找出千万条理由，下决心做一件事情时，有一条理由就足够了。,同学们在日常学习、生活中习惯了给自己不做某事找借口、找托词、找原因。其实就是为了,“,心安理得,”,，不妨换个角度想问题，找一条理由来做某件事情是多么容易。,