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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 推理与证明,4,数学归纳法,举例说明,：,一个数列的通项公式是：,a,n,=(,n,2,5,n,+5),2,请算出,a,1,=,，,a,2,=,，,a,3,=,，,a,4,=,猜测,a,n,?,由于,a,5,25 1,，所以猜测是不正确的,所以由归纳法得到的结论,不一定可靠,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,课题引入,不完全归纳法,如何通过有限个步骤的推理，证明,n,取所有正整数都成立？,思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？,多米诺骨牌（,domino,）是一种用木制、骨制或,塑料,制成的长方形,骨牌,。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。,多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。,一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。,先从多米诺骨牌游戏说起,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：,（,2,）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。,（依据）,条件（,2,）事实上给出了一个递推关系：当第,k,块倒下时，相邻的第,k+1,块也倒下。,思考,：你认为证明数列的通项公式 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？,（,1,）第一块骨牌倒下,；,（基础）,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,（,1,）第一块骨牌倒下。,（,2,）若第,k,块倒下时，则相邻的第,k+1,块也倒下。,根据（,1,）和 （,2,），,可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,（,1,）当,n=1,时猜想成立。,（,2,）若当,n=k,时猜想成立，,即 ，则当,n=k+1,时猜想,也成立，即 。,根据（,1,）和（,2,），可知对任意的正整数,n,，猜想 都成立。,已知数列,数学归纳法的概念：,定义：对于某些与正整数,n,有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当,n,取第一个值,n,0,(n,0,N*,),时命题成立,(,归纳奠基,）；,2.,然后假设当,n=,k(k,N,*,，,kn,0,),时命题成立，,证明当,n=k+1,时命题也成立,(,归纳递推,）。,这种证明方法就叫做,_,。,数学归纳法,验证,n=n,0,时命题成立,若,n=k(k,n,0,),时命题成立,证明,n=k+1,时命题也成立,.,归纳奠基,归纳递推,命题对从,n,0,开始所有的正整数,n,都成立,例,1,、,用数学归纳法证明：,1+3+5+,+(2n-1),n,2,(2),假设,n,k,时，等式成立，即,(1),n,1,时，左边,=1,，右边,=1,，等式成立；,1+3+5+,+(2k-1),k,2,那么当,n,k+1,时，,由、可知对任何,nN*,时，等式都成立,需要证明的式子是,?,1+3+5+,+(2k-1)+,（,2k+1,）,k,2,+,（,2k+1,）（,k+1,）,2,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,同样的方法，我们可以用数学归纳法证明首项为,a,1,，公差为,d,的等差数列的前,n,项和公式,.,具体详解请同学们看本节教材例,1,.,数学建构,类比多米诺骨牌游戏证明,情境,1,中的猜想,的步骤为：,(1),证明当,n=1,时猜想成立,(2),证明若当,n=k,时命题成立，则,n=k+1,时命题也成立,.,完成了这两个步骤以后就可以证明,上述猜想,对于所有的正整数,n,都是成立的。,相当于第一张牌能倒下,相当于使所有骨牌倒下的第,2,个条件,证明 当,n=1,时，左边,1,右边,等式显然成立。,例,2,证明：,递推基础,递推依据,假设当,n=k,时等式成立，即,那么,当,n=k+1,时，有,这就是说，当,n=k+1,时,等式也成立。,根据和，可知对任何,n,N,*,等式都成立。,证明,：,（,1,）,当,n,=1,时,，,等式是成立的,（,2,）,假设当,n=k,时等式成立，就是,那么,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,由（,1,）和（,2,），可知等式对任何,都成立,如果 是等差数列，已知首项为,公差为 ，那么,对一切 都成立,练习,1,试用数学归纳法证明,点评：,利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意三句话：,递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,证明 当,n=1,时，左边,1,右边,等式显然成立。,练习,2.,（,1,）,用数学归纳法证明：,假设当,n=k,时等式成立，即,那么,当,n=k+1,时，有,这就是说，当,n=k+1,时,等式也成立。,根据和，可知对任何,n,N,*,等式都成立。,证明 当,n=1,时，左边,1,右边,等式显然成立。,练习,2.,（,2,）,用数学归纳法证明：,假设当,n=k,时等式成立，即,那么,当,n=k+1,时，有,这就是说，当,n=k+1,时,等式也成立。,根据和，可知对任何,n,N,*,等式都成立。,2.,数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：,（,1,）,证明当 取第一个值（如 或,2,等）时命题成立,递推基础,（,2,）,假设 时,命题成立,证明 时命题也成立,递推依据,在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从,n,0,开始,的,所有正整数,n,都成立,1.,数学归纳法,适用范围,:,仅限于与正整数有关的数学命题,3.,数学归纳法,优点,：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，,又克服了不完全归纳法结论,不可靠,的不足，是一种科学方法，,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。,课堂小结,另外一定要注意：用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是,递推的,基础,，第二步是,递推的,依,据,。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。,
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