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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,同济版高等数学课件,*,目录 上页 下页 返回 结束,第四节,两类问题,:,在收敛域内,和函数,求 和,展 开,本节,内容,:,一、泰勒,(Taylor),级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,11/26/2024,同济版高等数学课件,一、泰勒,(Taylor),级数,其中,(,在,x,与,x,0,之间,),称为,拉格朗日余项,.,则在,复习,:,f,(,x,),的,n,阶泰勒公式,若函数,的某邻域内具有,n,+1,阶导数,该邻域内有,:,11/26/2024,同济版高等数学课件,为,f,(,x,),的,泰勒级数,.,则称,当,x,0,=0,时,泰勒级数又称为,麦克劳林级数,.,1),对此级数,它的收敛域是什么？,2),在收敛域上,和函数是否为,f,(,x,)?,待解决的问题,:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,11/26/2024,同济版高等数学课件,定理,1,.,各阶导数,则,f,(,x,),在该邻域内能展开成泰勒级数的,充要,条件,是,f,(,x,),的泰勒公式余项满足,:,证明,:,令,设函数,f,(,x,),在,点,x,0,的某一邻域,内,具有,11/26/2024,同济版高等数学课件,定理,2.,若,f,(,x,),能展成,x,的幂级数,唯一,的,且与它的麦克劳林级数相同,.,证,:,设,f,(,x,),所展成的幂级数为,则,显然结论成立,.,则这种展开式是,11/26/2024,同济版高等数学课件,二、函数展开成幂级数,1.,直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在,x,=0,处的值,;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径,R,;,第三步 判别在收敛区间,(,R,R,),内,是否为,骤如下,:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,11/26/2024,同济版高等数学课件,例,1.,将函数,展开成,x,的幂级数,.,解,:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,故,(,在,0,与,x,之间),故得,级数,11/26/2024,同济版高等数学课件,例,2.,将,展开成,x,的幂级数,.,解,:,得,级数,:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,11/26/2024,同济版高等数学课件,对上式两边求导可推出,:,11/26/2024,同济版高等数学课件,例,3.,将函数,展开成,x,的幂级数,其中,m,为任意常数,.,解,:,易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间,(,1,1),内收敛,.,因此对任意常数,m,11/26/2024,同济版高等数学课件,推导,推导,则,为避免研究余项,设此级数的和函数为,11/26/2024,同济版高等数学课件,称为,二项展开式,.,说明：,(1),在,x,1,处的收敛性与,m,有关,.,(2),当,m,为正整数时,级数为,x,的,m,次多项式,上式,就是代数学中的,二项式定理,.,由此得,11/26/2024,同济版高等数学课件,对应,的二项展开式分别为,11/26/2024,同济版高等数学课件,例,3,附注,11/26/2024,同济版高等数学课件,2.,间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例,4.,将函数,展开成,x,的幂级数,.,解,:,因为,把,x,换成,得,将所给函数展开成 幂级数,.,11/26/2024,同济版高等数学课件,例,5.,将函数,展开成,x,的幂级数,.,解,:,从,0,到,x,积分,得,定义且连续,域为,利用此题可得,上式右端的幂级数在,x,1,收敛,所以展开式对,x,1,也是成立的,于是收敛,11/26/2024,同济版高等数学课件,例,6.,将,展成,解,:,的幂级数,.,11/26/2024,同济版高等数学课件,例,7.,将,展成,x,1,的幂级数,.,解,:,11/26/2024,同济版高等数学课件,内容小结,1.,函数的幂级数展开法,(,1),直接展开法,利用泰勒公式,;,(2),间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.,常用函数的幂级数展开式,式的函数,.,11/26/2024,同济版高等数学课件,当,m,=1,时,11/26/2024,同济版高等数学课件,思考与练习,1.,函数,处“,有泰勒级数,”与“,能展成泰勒级,数,”有何不同,?,提示,:,后者必需证明,前者无此要求,.,2.,如何求,的幂级数,?,提示,:,11/26/2024,同济版高等数学课件,作业,P283 2,(2),(3),(5),(6),;,3,(2),;,4 ;6,第五节,11/26/2024,同济版高等数学课件,备用题,1.,将,下列函数展开成,x,的幂级数,解,:,x,1,时,此级数条件收敛,因此,11/26/2024,同济版高等数学课件,2.,将,在,x,=0,处展为幂级数,.,解,:,因此,11/26/2024,同济版高等数学课件,
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