热传导方程与扩散方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 热传导方程与扩散方程,热传导方程,在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。,物理模型,Fourier实验定律,注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，,由热量守恒定律，物体内部无热源时，,交换积分次序,若物体内部有热源，,数学模型,二维的情形：,一维的情形：,其中：,a,2,=,k,/,C,，,f,(,x,y,z,t,)=,f,0,/,C,，,如果物体是均匀的，且各向同性的，则有,定解条件,边界条件,给定温度函数,u,(,x,y,z,t,),在物体,表面的,限制。一般来有三种类型：,第一类边界条件：,初始条件,给出物体在初始时刻,t=,0,的温度,第二类边界条件：,第三类边界条件：,定解问题,由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题,混合问题,：,初始问题,：,扩散方程,考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻,t,的分布规律。,物理模型,数学模型,其中：,u,(,x,y,z,t,)表示于时刻,t,在(,x,y,z,),处的分子浓度,f,(,x,y,z,t,)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数,D,为扩散系数,第二节初边值问题的分离变量法,定解问题,未知函数分离,泛定方程分离,边界条件分离,分离结果,空间方程解出,非零解条件,非零解,时间方程解出,分离结果的求解,典型问题的求解,初始条件要求,分离结果的合成,再合成半通解,系数的确定,过程小结,分离变量,分别求解,合成半通解,由初始条件确定系数,分离变量流程图,典型问题的求解,例题1,代入初始条件,分离变量,分别求解,合成半通解,第二类边界条件,定解问题,初始条件要求,未知函数分离,泛定方程分离,边界条件分离,本征运动,半通解,典型问题的求解,例题2,代入初始条件,分离变量,分别求解,合成半通解,