线性规划与单纯形法-第3节

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（,第三版）,运筹学,教材编写组 编,清华大学出版社,运筹学,第,1,章,线性规划与单纯形法,第,3,节,单纯形法,钱颂迪 制作,第,1,章 线性规划与单纯形法,第,3,节 单纯形法,3.1,举例,3.2,初始基可行解的确定,3.3,最优性检验与解的判断,3.4,基变换,3.5,迭代（旋转运算）,单纯形法求解线性规划的思路：,一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小，决定下一步选择的单纯形。这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。这样问题就得到了最优解，先举一例来说明。,注：,单纯形是指,0,维中的点，一维中的线段，二维中的三角形，三维中的四面体，,n,维空间中的有,n+1,个顶点的多面体。例如在三维空间中的四面体，其顶点分别为,(0,，,0,，,0),，,(1,，,0,，,0),，,(0,，,1,，,0),，,(0,，,0,，,1),。具有单位截距的单纯形的方程是,xi1,，并且,xi0,，,i=1,2,m,。,3.1,举例,例,6,试以例,1,来讨论如何用单纯形法求解。例,1,的标准型为：,约束方程,(1-12),式的系数矩阵,从,(1-12),式中可以看到,x,3,x,4,x,5,的系数列向量,P,3,P,4,P,5,是线性独立的，这些向量构成一个基,对应于,B,的变量,x,3,x,4,x,5,为 基变量,.,从,(1-12),式中可以得到（,1-13,）,将,(1-13),式代入目标函数,(1-11),得到,当令非基变量,x,1,=x,2,=0,，便得到,z=0,。这时得到一个基可行解,X,(0),X,(0),=(0,0,8,16,12),T,这个基可行解表示：工厂没有安排生产产品,、,；资源都没有被利用，所以工厂的利润指标,z=0,。,从分析目标函数的表达式,(1-14),可以看到,非基变量,x,1,x,2,(,即没有安排生产产品,，,),的系数都是正数，因此将非基变量变换为基变量，目标函数的值就可能增大。从经济意义上讲，安排生产产品,或,，就可以使工厂的利润指标增加。所以只要在目标函数,(1-14),的表达式中还存在有正系数的非基变量，这表示目标函数值还有增加的可能，就需要将非基变量与基变量进行对换。,如何确定换入变量，换出变量,一般选择正系数最大的那个非基变量,x,2,为换入变量，将它换入到基变量中去，同时还要确定基变量中有一个要换出来成为非基变量，可按以下方法来确定换出变量。,现分析,(1-13),式，当将,x,2,定为换入变量后，必须从,x,3,x,4,x,5,中确定一个换出变量，并保证其余的都是非负，即,x,3,x,4,x,5,0,。,当,x,1,=0,由,(1-13),式得到,x,2,取何值时，才能满足非负要求,从,(1-15),式中可以看出，只有选择,x,2,=min(8/2,-,12/4)=3,时，,才能使,(1-15),式成立。,因当,x,2,=3,时，基变量,x,5,=0,，这就决定用,x,2,去替换,x,5,。,以上数学描述说明了每生产一件产品,，需要用掉各种资源数为,(2,，,0,，,4),。由这些资源中的薄弱环节，就确定了产品,的产量。,这里就是由原材料,B,的数量确定了产品,的产量,x,2,=12/4=3,件。,为求得以,x,3,x,4,x,2,为基变量的一个基可行解和进一步分析问题，需将,(1-13),中,x,2,的位置与,x,5,的位置对换。得到,用高斯消去法,将,(1-16),式中,x,2,的系数列向量变换为单位列向量。其运算步骤是：,=,/4,；,=,-2,;,=,并将结果仍按原顺序排列有,：,再将,(1-17),式代入目标函数,(1-11),式得到,从目标函数的表达式,(1-18),中可以看到，非基变量,x,1,的系数是正的，说明目标函数值还可以增大，,X,(1),还,不是最优解。,于是再用上述方法，确定换入、换出变量，继续迭代，再得到另一个基可行解,X,(2),X,(2),=(2,3,0,8,0),T,再经过一次迭代，再得到一个基可行解,X,(3),X,(3),=(4,2,0,0,4),T,而这时得到目标函数的表达式是：,z=14-1.5x,3,-0.125x,4,(1-19),再检查,(1-19),式，可见到所有非基变量,x,3,x,4,的系数都是负数。这说明若要用剩余资源,x,3,x,4,，就必须支付附加费用。,所以当,x,3,=x,4,=0,时，即不再利用这些资源时，目标函数达到最大值。所以,X,(3),是最优解。即当产品,生产,4,件，产品,生产,2,件，工厂才能得到最大利润。,通过上例，可以了解利用单纯形法求解线性规划问题的思路。现将每步迭代得到的结果与图解法做一对比，其几何意义就很清楚了。,原例,1,的线性规划问题是二维的，,即两个变量,x,1,x,2,；当加入松弛变量,x,3,x,4,x,5,后，,变换为高维的。,这时可以想象，满足所有约束条件的可行域是高维空间的凸多面体,(,凸集,),。,这凸多面体上的顶点，就是基可行解。,初始基可行解,X,(0),=(0,0,8,16,12),T,就相当于图,1-2,中的原点,(0,，,0),，,X,(1),=(0,3,2,16,0),T,相当于,图,1-2,中,的,Q,4,点,(0,，,3),；,X,(2),=(2,，,3,，,0,，,8,，,0),T,相当于,图,1-2,中的,Q,3,点,(2,，,3),，,最优解,X,(3),=(4,，,2,，,0,，,0,，,4),T,相当于图,1-2,中的,Q,2,点,(4,，,2),。,从初始基可行解,X,(0),开始迭代，依次得到,X,(1),，,X,(2),，,X,(3),。这相当于图,1-2,中的目标函数平移时，,从,0,点开始，首先碰到,Q,4,，然后碰到,Q,3,，最后达到,Q,2,。下面讨论一般线性规划问题的求解。,一般线性规划问题的求解,3.2,初始基可行解的确定,为了确定初始基可行解，要首先找出初始可行基，其方法如下。,(1),直接观察,(2),加松弛变量,(3),加非负的人工变量,(1),直接观察,若线性规划问题,从,P,j,(j,=1,2,n),中一般能直接观察到存在一个初始可行基,(2),加松弛变量,对所有约束条件是,“,”,形式的不等式，可以利用化为标准型的方法，在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。,经过整理，重新对,x,j,及,a,ij,(i,=1,2,m;j,=1,2,n),进行编号，则可得下列方程组,x,1,x,2,x,m,为松弛变量,于是含有,mm,单位矩阵，以,B,作为可行基。,将,(1-22),式每个等式移项得,令,x,m+1,=x,m+2,=,=,x,n,=0,，由,(1-23),式可得,x,i,=b,i,(i=1,2,m),得到一个初始基可行解,又因,b,i,0(,在,1-3,节中已做过规定,),，所以得到一个初始基可行解,X=(x,1,x,2,x,m,0,，,，,0),T,n-m,个,=(b,1,b,2,b,m,0,，,，,0),T,n-m,个,(3),加非负的人工变量,对所有约束条件是,“,”,形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，就采用人造基方法。,即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后，再加上一个非负的人工变量；,对于等式约束再加上一个非负的人工变量，总能得到一个单位矩阵。关于这个方法将在本章第,5,节中进一步讨论。,3.3,最优性检验与解的判别,对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况，,为此需要建立对解的判别准则。一般情况下，经过迭代后,(1-23),式变成,将 代入目标函数,(1-20),式，整理后得,令,1,最优解的判别定理,若 为对应于基,B,的一个基可行解，且对于一切,j=m+1,n,，有,j,0,，则,X,(0),为最优解。称,j,为检验数。,当所有非基变量的,j,0,时，由（,1-27,）式可知已不存在任一可换入的非基变量，,使目标函数继续增大。所以以,j,0,，为最优解的判别准则。,2.,无穷多最优解判别定理,若 为一个基可行解，对于一切,j=m+1,，,n,，有,j,0,，又存在某个非基变量的检验数,m+k,=0,，则线性规划问题有无穷多最优解。,证,:,只需将非基变量,x,m+k,换入基变量中，找到一个新基可行解,X,(1),。因,m+k,=0,，由,(1-27),知,z=z,0,，故,X,(1),也是最优解。由,2.2,节的定理,3,可知,X,(0),，,X,(1),连线上所有点都是最优解。,3,无界解判别定理,若 为一基可行解，,有一个,m+k,0,，并且对,i=1,2,，,m,，有,存在。,那么该线性规划问题具有无界解,(,或称无最优解,),。,证,:,构造一个新的解,X,(1),，它的分量为,因 ，所以对任意的,0,都是可行解，把,x,(1),代入目标函数内得,z=z,0,+,m+k,因,m+k,0,，故当,+,，则,z+,，故该问题目标函数无界。,以上讨论都是针对标准型，即求目标函数极大化时的情况。当求目标函数极小化时，一种情况如前所述，将其化为标准型。,如果不化为标准型，只需在上述,1,，,2,点中把,j,0,改为,j,0,，第,3,点中将,m+k,0,改写为,m+k,0,即可。,3.4,基变换,若初始基可行解,X,(0),不是最优解及不能判别无界时，需要找一个新的基可行解。具体做法是从原可行解基中换一个列向量,(,当然要保证线性独立,),，得到一个新的可行基，这称为基变换。为了换基，先要确定换入变量，再确定换出变量，让它们相应的系数列向量进行对换，就得到一个新的基可行解。,1.,换入变量的确定,由,(1-27),式看到，当某些,j,0,时，,x,j,增大，则目标函数值还可以增大。这时要将某个非基变量,x,j,换到基变量中去,(,称为换入变量,),。若有两个以上的,j,0,，那么选哪个非基变量作为换入变量呢,?,为了使目标函数值增加得快，从直观上一般选,j,0,中的大者，即,则对应的,x,k,为换入变量,。但也可以任选或按最小足码选。,2.,换出变量的确定,设,P,1,，,P,2,，,，,P,m,是一组线性独立的向量组，它们对应的基可行解是,X,(0,),。将它代入约束方程组,(1-21),得到,其他的向量,P,m+1,P,m+2,P,m+t,P,n,都可以,用,P,1,，,P,2,，,，,P,m,线性表示，,若确定非基变量,P,m+t,为换入变量，,必然可以找到一组不全为,0,的数,(i=1,2,m),使得,在,(1-29),式两边同乘一个正数,，然后将它加到,(1-28),式上，得到,新的基可行解,。,由此得到由,X,(0),转换到,X,(1),的各分量的转换公式,这里 是原基可行解,X,(0),的各分量； 是新基可行解,X,(1),的各分量；,i,m+t,是换入向量,P,m+t,的对应原来一组基向量的坐标。,现在的问题是，这个新解,X,(1),的,m,个非零分量对应的列向量是否性独立,?,事实上，因,X,(0),的第,l,个分量对应于,X,(1),的相应分量是零，即,成立。又因,将,(1-32),式减,(1-31),式得到,由于上式中至少有,l,m+t,0,，,所以上式表明,P,1,，,P,2,，,，,P,m,是线性相关，,这与假设相矛盾。,由此可见，,X,(1),的,m,个非零分量对应的列向量,P,j,(,j,=1,2,m,j,l,),与,P,m+t,是线性独立的，,即经过基变换得到的解是基可行解。,实际上，从一个基可行解到另一个基可行解的变换，就是进行一次基变换。从几何意义上讲，就是从可行域的一个顶点转向另一个顶点,(,见,1-2,图解法,),3.5,迭代,(,旋转运算,),上述讨论的基可行解的转换方法是用向量方程来描述，在实际计算时不太方便，因此采用,系数矩阵法,。现考虑以下形式的约束方程组,一般线性规划问题的约束方程组中加入松弛变量或人工变量后，,很容易得到上述形式,设,x,1,x,2,x,m,为基变量，对应的系数矩阵是,m,m,单位阵,I,，它是可行基。令非基变量,x,m+1,x,m+2,x,n,为零，即可得到一个基可行解。若它不是最优解，则要另找一个使目标函数值增大的基可行解。这时从非基变量中确定,x,k,为换入变量。显然这时,为,在迭代过程中,可表示为,其中是经过迭代后对应于的元素值。,按,规则确定,x,l,为换出变量，,x,k, x,l,的系数列向量分别为,为了使,x,k,与,x,l,进行对换，须把,P,k,变为单位向量，这可以通过,(1-33),式系数矩阵的增广矩阵进行初等变换来实现。,变换的步骤是：,(1),将增广矩阵,(1-34),式中的第,l,行除以,a,l k,，得到,(2),将,(1-34),式中,x,k,列的各元素，除,a,l k,变换为,1,以外，其他都应变换为零。其他行的变换是将,(1-35),式乘以,a,i,k,(il,),后，从,(1-34),式的第,i,行减去，得到新的第,i,行。,由此可得到变换后系数矩阵各元素的变换关系式：,是变换后的新元素。,(3),经过初等变换后的新增广矩阵是,(4),由,(1-36),式中可以看到,x,1,x,2,x,k,，,x,m,的系数列向量构成,m,m,单位矩阵,;,它是可行基,.,当非基变量,x,m+1,，,x,l,x,n,为零时，就得到一个基可行解,X,(1),。,在上述系数矩阵的变换中，元素,a,l k,称为主元素，,它所在列称为主元列，它所在行称为主元行。,元素,a,l k,位置变换后为,1,。,例,7,试用上述方法计算例,6,的两个基变换。,解,例,6,的约束方程组的系数矩阵写成增广矩阵,当以,x,3,x,4,x,5,为基变量，,x,1,x,2,为非基变量，,令,x,1,x,2,=0,，,可得到一个基可行解,X,(0),=(0,0,8,16,12),T,现用,x,2,去替换,x,5,，于是将,x,3,，,x,4,x,2,的系数矩阵变换为单位矩阵，经变换后为,令非基变量,x,1,x,5,=0,，得到新的基可行解,X,(1),=(0,3,2,16,0),T,