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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第一章 推理与证明,1.3,反证法,2,综合法特点,：,由因导果,由,已知,结论,分析法特点：,执果索因,即：,由,结果,找条件,倒推,复习,3,思考？,A,、,B,、,C,三个人，,A,说,B,撒谎，,B,说,C,撒谎，,C,说,A,、,B,都撒谎。则,C,必定是在撒谎，为什么？,假设,C,没有撒谎,则,C,真,;,由,A,假,知,B,真,.,那么假设,“,C,没有撒谎,”,不成立,;,则,C,必定是在撒谎,.,那么,A,假且,B,假,;,这与,B,假矛盾,.,推出矛盾,.,推翻假设,.,原命题成立,.,分析,:,由假设,4,反证法：,假设原命题不成立，,经过正确的推理,得出矛盾，,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫,反证法,反证法的基本步骤：,四步,得出矛盾的方法：,（,1,）与已知条件矛盾；,（,2,）与已有公理、定理、定义矛盾；,（,3,）自相矛盾。,5,应用反证法的情形：,(1),直接证明比较困难,;,(2),直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少,;,（,3),结论有,“,至少,”,“,至多,”,“,有无穷多个,”,之类字样,（,4,）结论为,“,唯一,”,之类的命题；,6,例,1,、,已知,a,是整数，,2,能整除,，求证：,2,能整除,a,.,证明：假设命题的结论不成立，即,“,2,不,能整除,a,”,。,因为,a,是整数，故,a,是奇数，,a,可表示为,2m,+,1,（,m,为整数），则,，即,是奇数。所以，,2,不,能整除,。这与,”,相矛盾。于是，,“,2,不,能整除,a,”,已知“,2,能整除,这个假设错误，故,2,能整除,a,.,7,例,2,、,在同一平面内，两条直线,a,，,b,都和直线,c,垂直。求证：,a,与,b,平行。,证明：,假设命题的结论不成立，即,“,直线,a,与,b,相交,”,。设直线,a,，,b,的交点为,M,，,a,，,c,的交点为,P,，,b,，,c,的交点为,Q,，如图所示，则,。,这样,的内角和,这与定理,“,三角形的内角和等于,”,相矛盾，这说明假设是错误的。,所以,直线,a,与,b,不相交，即,a,与,b,平行。,8,解题反思：,证明以上题时，你是怎么想到反证法的？,反设时应注意什么？,反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？,9,例,3,、,已知,a0,，,证明：关于,x,的方程,ax=b,有且只有一个根。,10,例,4,、,求证：是无理数。,解题反思：,本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？,例,5:,已知直线,和平面,如果 且,求证,:.,a,b,因为,，所以,.,证明：因为,ab,，所以经过直线,确定一个平面,.,证明：因为,ab,直线,确定一个平面,.,下面用反证法证明直线 与平面 没有公共点,.,假设直线,与平面 有公共点,P,则,即点,P,是直线,a,与,b,的公共点,这与,矛盾,所以,.,因为,而,所以 与 是两个不同的平面,.,P,综合法,反证法,感受反证法,:,练习,1,.,求证：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等,这与已知条件,ABAC,相矛盾，假设错误。,求证：,B,C,尝试解决问题,已知：在,ABC,中，,ABAC,。,证明：假设,B,=,C,。,所以,AB=AC,（等角对等边）,所以,B,C,。,练习,2,.,已知：如图,ABC,中，,D,、,E,两 点分别在,AB,和,AC,上,求证：,CD,、,BE,不能互相平分,（,平行四边形对边平行）,证明：假设,CD,、,BE,互相平分,连结,DE,，,故四边形,BCED,是平行四边形,BDCE,这与,BD,、,CE,交于点,A,矛盾,假设错误，,CD,、,BE,不能互相平分,14,归纳总结：,1.,哪些命题适宜用反证法加以证明？,笼统地说，,正面证明繁琐或困难时宜用反证法；,具体地讲，,当所证命题的结论为,否定形式,或,含有,“,至多,”,、,“,至少,”,等不确定词，,此外，,“,存在性,”,、,“,唯一性,”,问题,.,15,2.,归谬,是,“,反证法,”,的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？,归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形,.,原词语,否定词,原词语,否定词,等于,任意的,是,至少有一个,都是,至多有一个,大于,至少有,n,个,小于,至多有,n,个,对所有,x,成立,对任意,x,，,不成立,3.,准确地作出反设,(,即否定结论,),是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式,.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（,n-1),个,至少有（,n+1),个,存在某,x,，,不成立,存在某,x,成立,不等于,某个,17,
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