函数展开成幂级数(IV)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,求 和,展 开,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(,在,x,与,x,0,之间),称为,拉格朗日余项,.,则在,若函数,的某邻域内具有,n,+1 阶导数,此式称为,f,(,x,)的,n,阶泰勒公式,该邻域内有:,为,f,(,x,),的,泰勒级数.,则称,当,x,0,=0,时,泰勒级数又称为,麦克劳林级数,.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为,f,(,x,)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1,.,各阶导数,则,f,(,x,)在该邻域内能展开成泰勒级数的,充要,条件,是,f,(,x,)的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的某一邻域,内具有,定理2.,若,f,(,x,)能展成,x,的幂级数,则这种展开式是,唯一,的,且与它的麦克劳林级数相同.,证:,设,f,(,x,)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在,x,=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径,R,;,第三步 判别在收敛区间(,R,R,)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,例1.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,故,(,在0与,x,之间),故得级数,例2.,将,展开成,x,的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,类似可推出:,例3.,将函数,展开成,x,的幂级数,其中,m,为任意常数.,解:,易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数,m,则,为避免研究余项,设此级数的和函数为,称为,二项展开式,.,说明：,(1),在,x,1,处的收敛性与,m,有关.,(2)当,m,为正整数时,级数为,x,的,m,次多项式,上式,就是代数学中的,二项式定理,.,由此得,对应,的二项展开式分别为,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,因为,把,x,换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,例5.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,从 0 到,x,积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在,x,1,收敛,所以展开式对,x,1,也是成立的,于是收敛,例6.,将,展成,解:,的幂级数.,例7.,将,展成,x,1 的幂级数.,解:,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,当,m,=1,时,思考与练习,1.函数,处“,有泰勒级数,”与“,能展成泰勒级,数,”有何不同?,提示:,后者必需证明,前者无此要求.,2.如何求,的幂级数?,提示:,备用题,1.,将下列函数展开成,x,的幂级数,解:,x,1 时,此级数条件收敛,因此,2.,将,在,x,=0处展为幂级数.,解:,因此,