多元函数微分法及其应用习题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 多元函数微分法及其 应用习题课,一、内容回顾,1、偏导数的定义与计算,求函数 的偏导数 时，只要把 暂时看作常量,而对 求导数；,类似地，可求函数 的偏导数 。,2、多元复合函数求导法则,z,u,v,t,z,u,v,x,y,(1)设 和 在点 可导，在对应点 处可微，则复合函数 在点 处可导，且,(2)设 和 存在偏导数，在对应点,处可微，则复合函数 在 偏导数存在,且,3、隐函数的导数,由方程 确定的一元函数 ，,则有：,由方程 确定二元函数 ，,则有,：,（2）.,由四个变量两个方程 所构成的方程组,如,确定隐函数两个二元函数,方程组,（1）.由三个变量两个方程所构成的方程组,如,确定隐函数两个,一元函数,方程组,.,y,v,x,v,y,u,x,u,求,由方程组所确定的隐函数,4、多元函数微分学在几何上的应用,4.1 空间曲线的切线与法平面,切线方程：,法平面方程：,(1),则,在点 处,切线方程：,法平面方程：,切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式，,求出,即可.,(3),则 在点,处,(2),则,在点 处,4.2 曲面的切平面与法线,切平面方程：,法线方程：,切平面方程：,法线方程：,(2),则 在点 处,(1),则 在点 处,5.方向导数与梯度,二元函数 在点 沿方向 的方向导数为,计算公式:,其中 是方向 的方向余弦。,其中 为,x,轴到方向,的转角,函数,在点,处的梯度为一向量:,6.无条件极值求法步骤：,求 ,得全部驻点.,求 ,由判别驻点为极值点的条件，验证,的符号,确定极值点，求出极值。,7.条件极值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘数法),求出极值。,构造辅助函数,求解,得出 ,就是可能的极值点.,函数,在条件,下的可能极值点,:,二,、典型例题,解：,例1、求函数,的偏导数.,分析：因为函数 为三元函数，所以，应分别求对,的偏导数。,解：根据复合函数求偏导法则得,例2、设,而 ,求 和 .,例3、设,其中 具有二阶连续偏导数，,求,解：设 ,则,利用隐函数的求导公式得,解:令 ,则,例4、设,求 .,分析：如果令 ,则由方程,确定了,是 的函数,求 用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。,计算 时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法,并视,为 的二元函数 ,得,例5、求曲线 在点,处的切线及法平面方程。,分析：此曲线为参数方程,只需求出切向量为,再求出切点，即可得切线及法平面方程。,解：因,故在点,处的切向量为,所求切线方程为：,法平面方程为：,即,解：将所给方程的两边同时对 求导得,例6、求曲线 在点,处的切线及法平面方程.,分析：此曲线由方程组的形式给出,也可视为参数方程,视,为参数，则切向量为 ,利用直接求导法对方程组求导,解方程组,求出切向量,即可得切线及法平面方程。,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,则曲线在点 处的切向量为,解得,故切平面方程,为,即,法线方程为,例7、求旋转抛物面,在点 处的切平面及,法线方程.,分析：此曲面可看成,的形式,只需求出,法向量 ,即可求出切平面及法线方程.,解：设 ,则,解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为,所以,方向导数的最大值为,例8、问函数,在点 处沿什么方向的方向,导数最大？并求此方向导数的最大值。,解：解方程组,得驻点,又,所以,故,例9、求函数 的极值.,因此 在点,处取得最小值,且为,求解,所以，函数的极大值为,得,为唯一驻点.,例10、求函数,在适合附加条件 下的极大值.,分析：求函数,在适合附加条件 下的极大值,为条件极值，用拉格朗日乘数法。,解：构造辅助函数,