函数的最大值与最小值-赵树嫄

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节 函数的极值与最大值最小值,三、小结 思考题,二、最大值最小值问题,一、函数的极值及其求法,第三章,1.问题的提出,例如,(P146例4),一、函数的极值及其求法,2,、,函数极值的定义,图形分析：,定义,函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。,注意,极值点不唯一。,极值是局部性的。,对一函数而言，极小值可能比极大值大。,定理1.,可导函数取极值的必要条件,设,在点,处可导取得极值,前面已,定义,注意:,例如：,例如：,因此驻点和 不存在的点是极值可疑点。,判定极值存在的,第一充分条件,左正右负,左负右正,求极值的步骤:,(不是极值点情形),例,1.,求函数,的极值,.,解:,1),求导数,2),求极值可疑点,令,得,当,3),列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理,2,(极值第二判别法),二阶导数,且,则,在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:,(1),存在,由第一判别法知,(2),类似可证.,例,2.,求函数,的极值.,解:,1),求导数,2),求驻点,令,得驻点,3),判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,定理,3,(判别法的推广),则:,数,且,1),当,为偶数,时,是极小点;,是极大点.,2),当,为奇数,时,为极值点,且,不是极值点.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,证:,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如,例,2,中,所以,不是极值点.,极值的判别法(定理,1,定理,3),都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理,1,定理,3,的条件.,最值问题：,在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。,最值定义：,二、,最大值与最小值问题,函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。,最值与极值的区别：,极值是对极值点的某邻域,最值是对整,个定义区间。,极值只能在区间内取,最值可在端点或区,间内取得。,则其最值,只能,在,极值点,或,端点,处达到.,闭区间连续函数最值存在,从以上几段曲线可以看出：最值可以在开区间(,a,b,)内点处取得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在的点，同时最值也可以在整个区部的端点处取得。由此可按以下方法进行求最值。,1,.,求驻点和不可导点;,2,.,求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值；,最值的求法,步骤,特别:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),例,3.,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:,显然,且,故函数在,取最小值,0;,在,及,取最大值,5.,因此也可通过,例,3.,求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,由于,令,(自己练习),在闭区间,上的最大值和最小值.,(,k,为某一常数),例,4.,铁路上,AB,段的距离为,100 km,工厂,C,距,A,处,20,AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为,3,:,5,为使货,D,点应如何选取?,20,解:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故,AD,=15 km,时运费最省.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,例,5.,把一根直径为,d,的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高,h,和,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解,:,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,用开始移动,例,6,.,设有质量为,5 kg,的物体置于水平面上,受力,作,解:,克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题,.,为多少时才可使力,设摩擦系数,问力,与水平面夹角,的大小最小?,令,解得,而,因而,F,取最小值,.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,清楚,(,视角,最大,)?,观察者的眼睛,1.8,m,例,7.,一张,1.4 m,高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:,设观察者与墙的距离为,x,m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙,2.4 m,处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,内容小结,1.,连续函数的极值,(1),极值可疑点:,使导数为,0,或不存在的点,(2),第一充分条件,过,由正变负,为极,大,值,过,由负变正,为极,小,值,(3),第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,(4),判别法的推广,(Th.3),最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,(L.P500 题4),2.,连续函数的最值,1.,设,则在点,a,处,().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:,利用极限的保号性.,2.,设,在,的某邻域内连续,且,则在点,处,(,A,),不可导;,(,B,),可导,且,(C),取得极大值;,(,D,),取得极小值.,D,提示:,利用极限的保号性.,3,.,设,是方程,的一个解,若,且,则,在,(,A,),取得极大值;,(,B,),取得极小值;,(,C,),在某邻域内单调增加;,(,D,),在某邻域内单调减少.,提示:,A,作业,P160 1(5),(9);2;,3;5 ;10;14;15,