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1,计,算,算,方,方,法,法,第,八,八,章,章,线,线,性,性,方,方,程,程,组,组,的,的,解,解,法,法,计,算,算,方,方,法,法,课,课,程,程,组,组,8.0,引,引,言,言,重,要,要,性,性：,解,解,线,线,性,性,代,代,数,数,方,方,程,程,组,组,的,的,有,有,效,效,方,方,法,法,在,在,计,计,算,算,数,数,学,学,和,和,科,学,学,计,计,算,算,中,中,具,具,有,有,特,特,殊,殊,的,的,地,地,位,位,和,和,作,作,用,用,。,。,如,如弹,性,性,力,力,学,学,、,、,电,电,路,分,分,析,析,、,、,热,热,传,传,导,导,和,和,振,振,动,动、,以,以,及,及,社,社,会,会,科,科,学,学,及,及,定,定,量,量,分,分,析,析,商,商,业,经,经,济,济,中,中,的,的,各,各,种,种,问,问,题,题,。,。,求,解,解,线,线,性,性,方,方,程,程,组,组,的,的,求,求,解,解,方,方,法,法,，,，,其,其,中,中,，,。,。,假设 非奇异，则方程组有唯一解.,8.0,引,引,言,言,分,类,类：,线,性,性,方,方,程,程,组,组,的,的,解,解,法,法,可,可,分,分,为,为直,接,接,法,法和迭,代,代,法,法两,种,种,方,方,法,法,。,。,直接,法,法：,对,对,于,于,给,给,定,定,的,的,方,方,程,程,组,组,，,，,在,在,没,没,有,有,舍,舍,入,入,误,误,差,差,的,的,假,假,设,设,下,下,，,，,能,能,在,在,预,预,定,定,的,的,运,运,算,算,次,次,数,数,内,内,求,求,得,得,精,精,确,确,解,解,。,。,最,最,基,基,本,本,的,的,直,直,接,接,法,法,是,是Gauss,消,消,去,去,法,法,，,，,重,重,要,要,的,的,直,直,接,接,法,法,全,全,都,都,受,受,到,到Gauss,消,消,去,去,法,法,的,的,启,启,发,发,。,。,计,计,算,算,代,代,价,价,高,高.,迭,代,代,法,法,：,：基,于,于,一,一,定,定,的,的,递,递,推,推,格,格,式,式,，,，,产,产,生,生,逼,逼,近,近,方,方,程,程,组,组,精,精,确,确,解,解,的,的,近,近,似,似,序,序,列,列.,收,收,敛,敛,性,性,是,是,其,其,为,为,迭,迭,代,代,法,法,的,的,前,前,提,提,，,，,此,此,外,外,，,，,存,存,在,在,收,收,敛,敛,速,速,度,度,与,与,误,误,差,差,估,估,计,计,问,问,题,题,。,。简单,实,实用,诱,诱人,。,。,8.1,雅,雅,可,可比Jacobi,迭,迭代,法,法(,AX,=,b,),一、,迭代,法,法的,基,基本,思,思想,二、,例题,分,分析,三、,Jacobi,迭,迭代,公,公式,与解,f,(,x,)=0,的,的不,动,动点,迭,迭代,相,相类,似,似，,将,将,AX,=,b,改写,为,为,X,=,BX,+,f,的形,式,式，,建,建立,雅,雅可,比,比方,法,法的,迭,迭代,格,格式,：,：,其中,，,，,B,称为,迭,迭代,矩,矩阵,。,。其,计,计算,精,精度,可,可控,，,，特,别,别适,用,用于,求,求解,系,系数,为,为大,型,型稀,疏,疏矩,阵,阵(sparsematrices),的,的方,程,程组,。,。,8.1,雅,雅,可,可比Jacobi,迭,迭代,法,法(AX=b),迭代,法,法的,基,基本,思,思想,问题:,(a),如,如何,建,建立,迭,迭代,格,格式,？,？,(b),向,向量,序列,x,(,k,),是否,收,收敛,以,以及,收,收敛,条,条件?,2,例题,分,分析:,其准,确,确解,为,为,X,*,=1.1,1.2,1.3,。,。,考虑,解,解方,程,程组,(1),3.1Jacobi迭代法,2,例题分析:,建立与式(1)相,等,等价的形,式,式：,(2),其准确解,为,为,X,*,=1.1,1.2,1.3,。,。,考虑解方,程,程组,(1),3.1Jacobi迭代法,2,例题分析:,其准确解,为,为,X,*,=1.1,1.2,1.3,。,。,建立与式(1)相,等,等价的形,式,式：,考虑解方,程,程组,取迭代初值,据此建立,迭,迭代公式,：,：,迭代结果,如,如下表,：,迭代次数,x,1,x,2,x,3,0 0 0 0,1 0.72 0.83 0.84,2 0.971 1.07 1.15,3 1.057 1.1571 1.2482,4 1.08535 1.18534 1.28282,5 1.095098 1.195099 1.294138,6 1.098338 1.198337 1.298039,7 1.099442 1.199442 1.299335,8 1.099811 1.199811 1.299777,9 1.099936 1.199936 1.299924,10 1.099979 1.199979 1.299975,11 1.099993 1.199993 1.299991,12 1.099998 1.199998 1.299997,13 1.099999 1.199999 1.299999,14 1.1 1.2 1.3,15 1.1 1.2 1.3,设方程组AX=b,通,通过分离,变,变量的过,程,程建立Jacobi迭代公,式,式，即,由此我们,可,可以得到,Jacobi,迭代公式,：,8.1Jacobi迭,代,代公式,雅可比迭,代,代法的矩,阵,阵表示,写成矩阵,形,形式：,A,=,L,U,D,B,Jacobi 迭,代,代阵,8.2,高斯-塞,德,德尔迭代,法,法,(AX=b),注意到利,用,用Jacobi迭,代,代公式计,算,算,时，已经,计,计算好了,的值，而Jacobi迭代,公,公式并不,利,利用这些,最,最新的近,似,似值计算,，,，,仍用,这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值，得到,上式称为,Gauss-Seidel,迭代法.,写成矩阵形式,：,：,B,Gauss-Seidel,迭代阵,8.2,高斯-塞,德,德尔迭代,法,法,其准确解,为,为,X,*,=1.1,1.2,1.3。,考虑解,方,方程组,高斯-,塞,塞德尔,迭,迭代法,算,算例,高斯-,塞,塞德尔,迭,迭代格,式,式,迭代次数,x,1,x,2,x,3,0 0 0 0,1 0.72 0.902 1.1644,2 1.04308 1.167188 1.282054,3 1.09313 1.195724 1.297771,4 1.099126 1.199467 1.299719,5 1.09989 1.199933 1.299965,6 1.099986 1.199992 1.299996,7 1.099998 1.199999 1.299999,8 1.1 1.2 1.3,开始,T,F,T,F,T,逐次超,松,松弛迭,代,代法(,Successive OverRelaxation,Method,，简写,为,为SOR)可,以,以看作,带,带参数,的高斯-塞德,尔迭代,法,法，是G-S 方,法,法的一,种,种修正,或,或加速,，,，是求,解,解大,型稀疏,矩,矩阵方,程,程组的,有,有效方,法,法之一,。,。,8.3,超,超松驰,迭,迭代法,SOR,方法,1.SOR基本,思,思想,设方程,组,组A,X,=b,其,其中,，,，A=(,a,ij,)为,非,非奇异,阵,阵，,x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,b=(,b,1,b,2,b,n,),T,.,假设已算出,x,(,k,),，,8.3,超,超松驰迭代,法,法,SOR,方法,2.SOR算,法,法的,构,构造,称为,松,松弛,因,因子,利用,高,高斯-塞,德,德尔,迭,迭代,法,法得:,8.3,超,超,松,松驰,迭,迭代,法,法,SOR,方法,2.SOR算,法,法的,构,构造,(基,于,于,G-S,迭代),解方,程,程组,AX,=,b,的逐,次,次超,松,松弛,迭,迭代,公,公式,：,：,显然,，,，当,取,取=1,时,时，,上,上式,就,就是,高,高斯-塞,德,德尔,迭,迭代,公,公式.,8.3,超,超,松,松驰,迭,迭代,法,法,SOR,方法,2.SOR算,法,法的,构,构造(基,于,于Jacobi迭,代,代),得到,解,解方,程,程组,AX,=,b,的逐,次,次超,松,松弛,迭,迭代,公,公式,：,：,显然,，,，上,式,式就,是,是,基于Jacobi,迭,迭,代,代的SOR,方,方,法,法.,下面,令,令,，,，,希望,通,通过,选,选取,合,合适,的,的,来加,速,速收,敛,敛，,这,这就,是,是松弛,法,法。,3.SOR算,法,法的,进,进一,步,步解,释,释,SOR,方法,其中,r,i,(,k,+1),=,相当于在 的基础上,加个余项,生成 。,0,1,(渐次)超松弛法,利用,SOR方,法,法,解方,程,程组,SOR例,题,题分,析,析,:,其准,确,确解,为,为,x,*,=1,1,2.,建立,与,与式(1)相,等,等价,的,的形,式,式：,据此,建,建立G-S迭,代,代公,式,式：,取迭,代,代初,值,值:,=1.5,迭,代,代结,果,果如,下,下表.,SOR迭,代,代公,式,式为,：,：,GS,迭,迭代,法,法须,迭,迭代85,次,次得,到,到准,确,确值,x,*,=1,1,2;而,SOR方,法,法只,须,须55次,即,即得,准,准确,值,值.,由此,可,可见,，,，适,当,当地,选,选择,松,松弛,因子,，SOR,法,法具,有,有,明显,的,的加,速,速收,敛,敛效,果,果.,逐次超松弛迭代法,次数,x,1,x,2,x,3,1 0.625000 0.062500 1.750000,2 0.390625 0.882813 1.468750,3 1.017578 0.516602 1.808594,4 0.556885 0.880981 1.710449,5 1.023712 0.743423 1.868103,15 0.991521 0.985318 1.987416,25 0.998596 0.998234 1.998355,55 1.00000 1.0000 2.0000,关于SOR方,法,法的,说,说明,：,：,显然,，,，当,时,时，SOR方,法,法就,是,是Gauss-Seidel,方,方法,。,。,SOR,方,方法,每,每一,次,次迭,代,代的,主,主要,运,运算,量,量是,计,计算,一,一次,矩,矩阵,与,与向,量,量的,乘,乘法,。,。,时称,为,为超,松,松弛,方,方法,，,，,时,时称,为,为低,松,松弛,方,方法,。,。,计算,机,机实,现,现时,可,可用,控制,迭,迭代,终,终止,，,，或,用,用,SOR方,法,法可,以,以看,成,成是Gauss-Seidel,方,方法,的,的一,种,种修,正,正。,（迭,代,代法,基,基本,定,定理,）,）,设有,方,方程,组,组,，,，对,于,于任,意,意的,初,初始,向,向,量,，,，迭,代,代公,式,式,收,收敛,的,的充,要,要条,件,件是,迭,迭,代矩,阵,阵,的,的谱,半,半径.,8.4,迭,迭,代,代法,的,的收,敛,敛性-,充要,条,条件,迭代,法,法的,基,基本,定,定理,在,在理,论,论分,析,析中,有,有重,要,要意,义,义。,定理,2：,设,X,*,是方,程,程组,AX=b,的同,解,解方,程,程,X,=BX+F,的准,确,确解,，,若迭,代,代公,式,式中,迭,迭代,矩,矩阵,B,的某,种,种范,数,数,，,(1),(2),则有,在具体使用上，由于 ，因此，我们利用范数可以建立判别迭代法收敛的充分条件。,关,于,于,解,解,某,某,些,些,特,特,殊,殊,方,方,程,程,组,组,迭,迭,代,代,法,法,的,的,收,
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