函数的零点(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的零点,潍坊滨海中学 袁延花,请你先想一个问题。,已知二次函数,y,=,x,2,x,6,，试问,x,取哪些值时，,y,=0,?,求使,y,=0,的,x,值，也就是,求二次方程,x,2,x,6=0,的所有根,.,解此方程得,x,1,=,2,，,x,2,=3,。,这就是说，当,x,=,2,或,x,=3,时，这个函数的函数值,y,=0,。,画出这个函数的,简图，从图象上可以,看出，它与,x,轴相交于,两点,(,2,，,0),、,(3,，,0),。,这两点把,x,轴分成三个区间,(,，,2),、,(,2,，,3),、,(3,，,+),。,当,x,(,，,2),时，,y,0,；当,x,(,2,，,3),时，,y,0.,二次方程,x,2,x,6=0,的根,2,，,3,常称作函数,y,=,x,2,x,6,的零点。在坐标系中表示,图象与,x,轴的公共点,是,(,2,，,0),、,(3,，,0),。,零点的定义,：,一般地，如果函数,y,=,f,(,x,),在实数,处的值等于,0,，即,f,(,)=0,，则,叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与,x,轴的公共点是,(,，,0),。,我们知道，对于,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,：,当,=,b,2,4,ac,0,时，方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,有两个不相等的实数根，这时说二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,有,两个零点,；,当,=,b,2,4,ac,=0,时，方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,有两个相等的实数根，这时说二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,有一个,二重的零点,或说有,二阶零点,；,当,=,b,2,4,ac,0,时，方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,没有实数根，这时说二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,没有零点,；,考虑函数,是否有零点,是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步。,例如求出,二次函数的零点,及其图象的,顶点坐标,，就能确定二次函数的一些,主要性质,，并能,粗略地画出函数的简图,。,另外，我们还能,从二次函数的图象看到二次函数零点,的性质：,（,1,）当函数图象通过零点,且穿过,x,轴时,，,函数值变号,。如上例，函数,y,=,x,2,x,6,的图象在零点,2,的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点,2,时，函数值由正变为负，再通过第二个零点,3,时，函数值又由负变正。,（,2,）两个零点把,x,轴分成三个区间：,(,，,2),、,(,2,，,3),、,(3,，,+),，,在每个区间上，所有函数值,保持同号,。,例,1.,求函数,y,=,x,3,2,x,2,x,+2,的零点，并画出它的图象。,解：因为,x,3,2,x,2,x,+2=,x,2,(,x,2),(,x,2),=(,x,2)(,x,+1)(,x,1).,所以函数的零点为,1,，,1,，,2.,3,个零点把,x,轴分成,4,个区间：,(,，,1),、,(,1,，,1),、,(1,，,2),、,(2,，,+),。,在这四个区间内，取,x,的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：,x,1.5,1,0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,y,4.38,0,1.88,2,1.13,0,0.63,0,2.63,在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示。,例,2,求函数,f,(,x,)=,x,3,x,的零点，并画出它的图象。,解：,x,3,x,=,x,(,x,+1)(,x,1),，令,f,(,x,)=0,，即,x,(,x,+1)(,x,1)=0,，,解得,x,1,=0,，,x,2,=,1,，,x,3,=1,，所以函数,y,=,f,(,x,),的零点有三个，为,1,，,0,，,1,，,这三个点把,x,轴分成四个区间，,(,，,1),、,(,1,，,0),、,(0,，,1),、,(1,，,+),，在这四个区间中取一些,x,的值，列出函数的对应值表：,x,1.5,1,0.5,0,0.5,1,1.5,y,1.875,0,0.375,0,0.375,0,1.875,在直角坐标系中描点作图得到图象。,f,(,x,)=,x,3,x,例,3,若方程,7,x,2,(,k,+13),x,+,k,2,k,2=0,的两实根分别在区间,(0,，,1),，,(1,，,2),内，则（）,（,A,）（,B,）,k,4,（,C,）,1,k,1,或,3,k,4,（,D,）,2,k,1,或,3,k,4,解：函数,f,(,x,)=7,x,2,(,k,+13),x,+,k,2,k,2,的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别在,(0,，,1),，,(1,，,2),内，所以由图象可知，函数,y,=,f,(,x,),满足,，即 ，,解得，,所以,2,k,1,或,3,k,4,，选,D,。,例,4,已知,m,R,，函数,f,(,x,)=,m,(,x,2,1)+,x,a,恒有零点，求实数,a,的取值范围。,解：（,1,）当,m,=0,时，,f,(,x,)=,x,a,=0,解得,x,=,a,恒有解，此时,a,R,；,（,2,）当,m,0,时，,f,(,x,)=0,，即,mx,2,+,x,m,a,=0,恒有解，,1,=1+4,m,2,+4,am,0,恒成立，,令,g,(,m,)=4,m,2,+4,am,+1,，,g,(,m,)0,恒成立，,2,=16,a,2,160,，解得,1,a,1,。,综上所述知，当,m,=0,时，,a,R,；,m,0,时，,1,a,1,。,例,5,方程,x,2,+(,m,2),x,+5,m,=0,的两根都大于,2,，求实数,a,的取值范围。,解：令,f,(,x,)=,x,2,+(,m,2),x,+5,m,，要使,f,(,x,)=0,的两根都大于,2,，则应满足,解得,所以,即,5,m,4.,