普通物理实验误差理论

,1,测量与误差,1,误差 测量值真值,误差特性：普遍性、误差是小量,由于真值的不可知，误差实际上很难计算（有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误差）,测量误差与数据处理的基础知识,2,一、测量误差的概念,1.,绝对误差,测量结果与被测量的真值的差为测量误差，又称绝对误差。,实际运用中,将测量的算术平均值当作约定真值,.,2.,相对误差,E,3.,偏差,x,i,4.,标准误差,测量列中某次测量的标准误差,.,为测量次数无穷时的平均值。,3,5.,标准偏差,此式称为贝塞耳公式。,假定对一个量进行了,n,次测量，测得的值为,x,i,，可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值,单次测量的标准偏差为,用标准偏差,S,表示测得值的分散性,S,x,大，表示测得值很分散，测量的精密度低；,S,x,小，表示测得值很密集，测量的精密度高；,4,6.,平均值的标准偏差,多次测量的算术平均值 作也是随机变量，也有误差,例：,用,50,分度的游标卡尺测某一圆棒长度,L,，,6,次测量结果如下（单位,mm,）：,250.08,，,250.14,，,250.06, 250.10, 250.06, 250.10,。求该测量列的最佳估计值和标准偏差。,解：,测得值的最佳估计值为,5,测量列的标准偏差为,7.,仪器误差限,仪器的最大允许误差,长度测量工具取其最小分度值的一半,(,游标卡尺，螺旋测微器有另外的约定,),；,取天平的最小分度为仪器误差限；,取秒表的最小分度为仪器误差限；,6,指针式电压表、电流表,电阻箱近似取为,水银、酒精温度计的仪器误差限取最小分度的值一半；,是表的准确度等级,可从仪器面板或铭牌上找到,.,A,m,是测量时所用量程,.,R,为电阻测量值,.,例,.,用,0.2,级电压表,量程,10,V,则,若量程用,100,V,则,量程不同,仪,不同,.,为减小误差影响,选用量程时,应尽量使指针偏转达满度值的,2/3,以上,.,仪,仪,7,二、测量误差的分类,定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量过程中所得结果的平均值与被测量的真值之差。,1.,系统误差,特征：系统误差以确定性规律表现出来。,产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境带入,分类及处理方法：,已定系统误差：必须修正。,如：,电表、螺旋测微计的零位误差； 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。,未定系统误差：要估计出分布范围。如：螺旋测微计的螺纹公差等（大致与,B,类不确定度,U,B,相当）,。,8,2.,随机误差,产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化。,测量结果与测量平均值之差。,在多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化。,特点：,例如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化；操作读数时的视差影响。,小误差出现的概率比大误差出现的概率大；,多次测量时分布对称，具有抵偿性,因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。,9,三、随机变量的分布,f,(,x,),x,小,大,正态分布,：大量相对独立因素共同作用下得到的随机变量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似看作服从正态分布。,表示,x,出现概率最大的值，消除系统误差后，,通常就可以得到,x,的真值。,称为标准差，决定了,f,(x,),曲,线的宽窄。,10,置信概率,P,表示随机变量,x,在,x,1,，,x,2,区间出现的概率，称为置信水平或置信概率。,实际测量的任务是通过测量数据求得,和,的值。,11,2,不确定度和测量结果的表示,不确定度的权威文件是国际标准化组织,(,ISO),、国际测量局,(BIPM),等七个国际组织1993年联合推出的,测量不确定度表示指南,ISO1993(E,),不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。,不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即,随机误差分量,和,未定系统误差,的联合分布范围。,由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。,12,一、,不确定度,总不确定度分为两类不确定度：,标准不确定度,：置信概率为,68%,时的不确定度；,扩展不确定度,：其它置信概率时的不确定度。,（实验教学中一般用总不确定度，置信概率取,95%,）,A,类分量,U,A,：多次重复测量时与随机误差有关的分量；,B,类分量,U,B,：,未定系统误差有关的,分量。,这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成：,13,不确定度的,简化处理方法,由于测量次数小，数据离散度大，测量结果将不符合正态分布，而是符合,t,分布（,t,分布也叫学生分布，,n,小时，,t,分布偏离正态分布较多。,n,大时趋于正态分布,）。,U,A,与,t,分布的关系,:,当,5,n,10,时，可简化认为,U,A,=,S,x,（,置信概率95%）,B,类分量,U,B,主要由仪器的误差特点来决定,.,均匀分布，置信概率为,95%,时,不确定度的合成：,14,二、测量结果的评价,（,x,=,x,0,U,表示被测对象的真值落在,(,x,0,U,，,x,0,U,),范围内的概率很大，,U,的取值与一定的置信概率相联系。,),完整的测量结果应表示为：,包括：,测量结果 测量对象的量值,测量的不确定度 测量值的单位,15,测 量的分类,测量分为直接测量和间接测量,直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；,间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。,任何测量都可能存在误差（测量不可能无限准确,),。,16,1,.,直接测量结果的评价,结果表示：,以测量列,x,的平均值 再修正掉已定系统误差项,得到被测对象的量值。,U,是由,A,、,B,类不确定度合成,的,总不确定度,.,简化处理情况下,17,例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，,6,次测量值,x,i,分别为：,0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250;,同时读得螺旋测微计的零位,x,0,为：,0.006,单位,mm,，已知螺旋测微计的仪器误差为,仪,=0.004mm,，请给出完整的测量结果。,解,：测得值的最佳估计值为,测量列的标准偏差,则,：测量结果为,x,=0.2440.005mm,18,2.,间接测量量的不确定度,不确定度传播公式：,19,2.,依据关系 求出 或,间接测量量的不确定度计算过程,3.,用 或,求 或,1.,先写出各直接测量量,x,的不确定度,U,x,4.,最后表示结果为,20,间接测量量的不确定度计算举例,结果,V,=9.440.08cm,3,例：,已知金属环的外径,内径 高度,求环的体积,V,及其不确定度,V,。,解,:,求环体积,求偏导,合成,求,U,V,21,3,数据处理的基本知识,在实验中我们所测的被测量都是含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效位数,。,一、有效数字及其运算,1.,有效数字的概念,有效数字由准确数字和存疑数字组成。,22,读有效数字时要注意：,2.,修约规则：,小于五舍、大于五入、逢五凑偶,对误差和不确定度,只入不舍,（,1,）一般在最小分度内估计一位,(,除特殊例外,),；,（,2,）有效数字的位数与小数点无关；,（,3,）常用科学记数法。,例,:,0.0123,例,:,332.60m=0.33260km=3.3260,10,2,m=3.326010,4,cm,例,:,0.023644,三位,0.0236,21.1350,四位,21.14,13.0501,三位,13.0,12.3000,三位,六位,23,(1),直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的精确度,游标类器具,（,游标卡尺、分光计度盘、大气压计等,）读至游标最小分度的整数倍，即不需估读。,3.,测量结果读数举例：,24,数显仪表及有十进步式标度盘的仪表,（,电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等,）一般应直接读取仪表的示值。,25,指针式仪表及其它带刻度器具,，,读数时估读到仪器最小分度的,1/2,1/10,，或使估读间隔不大于仪器基本误差限的,1/5,1/3,。,26,注意指针指在整刻度线上时读数的有效位数。,应估读一位。,27,4.,有效数字的运算,(1),加减运算,.,结果末位以参与运算的末位最高的数为准。,如,11.,4,+2.56=14.,0,(2),乘除运算,.,以参与运算的有效位数最少的数为准,.,考虑乘法可能进位,结果可多取一位。,如,4000,9,=,3.6,10,4,7,5,-10.356=6,5,2.0000.9,9,=2,.,0,规则,:,存疑数与存疑数运算是存疑数；存疑数与准确数运算是存疑数；准确数与准确数运算是准确数；结果保留一位存疑数。,实际运算按如下方法进行,.,28,5.,测量结果表达式中的有效位数,总不确定度,U,的有效位数：,一般取一位,.,前两位都小于,5,时,可取两位,.,例 ：估算结果,U,=0.548mm,时，取为,U,=,0.6,mm,U,=1.37,时， 取为,U,=,1.4,用计算器进行计算时,中间结果可不作修约或适当多取几位,(,不能任意减少,),但最后一定要修约。,(3),乘方开方,.,结果的有效数字位数与原数相同,.,(4),函数运算,.,以运算数据最末位的一个单位为误差,求出结果误差,再根据误差决定取到哪一位,(,简化方法参看讲义,).,例,.,y,=ln23.7,故,y=3.165,29,6.,测量结果表达式中的有效位数,被测量值有效位数的确定：,x,x,0,U,中，被测量值,x,0,的末位要与不确定度,U,的末位对齐（求出,x,0,后先多保留几位，求出,U,，由,U,决定,x,0,的末位）,例：,环的体积,不确定度分析结果,最终结果为：,V,=9.440.08cm,3,即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的最后一位也取到小数点后第二位。,30,二、 作图法处理实验数据,作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要,先整理出数据表格,，并,要,用坐标纸作图,。,1.,选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小,坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以,1,2mm,对应于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数）。,根据表数据,U,轴可选1,mm,对应于0.10,V,，,I,轴可选1,mm,对应于0.20,mA,，并可定,坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约为130,mm130mm,。,作图步骤,：,实验数据列表如下,.,表,1,：伏安法测电阻实验数据,31,2.,标明坐标轴：,用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。,I,(,mA,),U,(V),8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,0,2.00,4.00,6.00,8.00,10.00,1.00,3.00,5.00,7.00,9.00,4.,连成图线：,用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在,两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。,3.,标实验点,：,实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号,）。,32,I,(,mA,),U,(V),8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,0,2.00,4.00,6.00,8.00,10.00,1.00,3.00,5.00,7.00,9.00,B,(7.00,18.58),A,(1.00,2.76),由图上,A,、,B,两点可得被测电阻,R,为：,5.,标出图线特征：,在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻,R,大小：从,所绘,直线,上读取两点,A,、,B,的坐标就可求出,R,值。,6.,标出图名：,在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。,电阻伏安特性曲线,至此一张图才算完成,33,不当图例展示,n,(nm,),1.6500,500.0,700.0,1.6700,1.6600,1.7000,1.6900,1.6800,600.0,400.0,玻璃材料色散曲线图,图1,曲线太粗，不均匀，不光滑,。,应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,34,n,(nm,),1.6500,500.0,700.0,1.6700,1.6600,1.7000,1.6900,1.6800,600.0,400.0,玻璃材料色散曲线图,改正为,：,35,图,2,I,(,mA,),U,(V),0,2.00,8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,1.00,3.00,电学元件伏安特性曲线,横轴坐标分度选取不当。,横轴以,3 cm,代表1,V,，,使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，,一般以1,mm,代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,36,I,(,mA,),U,(V),o,1.00,2.00,3.00,4.00,8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,电学元件伏安特性曲线,改正为,37,定容气体压强温度曲线,1.2000,1.6000,0.8000,0.4000,图3,P,(10,5,Pa),t,(,),60.00,140.00,100.00,o,120.00,80.00,40.00,20.00,图纸使用不当,。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始,。,38,定容气体压强温度曲线,1.0000,1.1500,1.2000,1.1000,1.0500,P,(10,5,Pa),50.00,90.00,70.00,20.00,80.00,60.00,40.00,30.00,t,(,),改正为,