二项式系数的性质及应用

,*,1.3.2,二项式系数的性质及应用,二项式定理,(,a,+,b,),n,=,C,n,0,a,n,+,C,n,1,a,n-1,b,1,+,+,C,n,k,a,n-k,b,k,+,+,C,n,n,b,n,展形式的第,k+,1,项为,T,k+1,=,C,n,k,a,n-k,b,k,1,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,第,1,行,第,2,行,第,6,行,-,第,5,行,-,第,4,行,第,3,行,-,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,对称,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法,中记载的表,杨辉三角,类似上面的表,早在我国南宋数学家,杨辉,1261,年所著的,详解九章算法,一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角,.,在书中，还说明了表里,“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,，杨辉指出这个方法出于,释锁,算书，且我国北宋数学家,贾宪,（约公元,11,世纪）已经用过它,.,这表明我国发现这个表不晚于,11,世纪,.,在欧洲，这个表被认为是法国数学家,帕斯卡,（,1623-1662,）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角,.,这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲,早五百年左右,，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,.,因此,当,n,为偶数时,中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,中间两项的二项式系数,相等，且同时取得最大值。,最大值,二项式系数的性质,各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,例,1.,证明在,(,a,+,b,),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,特值法,1.(1-,x,),13,的展开式中系数最小的项是,(),(A),第,6,项,(B),第,7,项（,C,）第,8,项,(D),第,9,项,2.,一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有,20,个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）,(A)20 (B)2,19,（,C,）,2,20,(D)2,20,1,C,D,练习,4,或,5,例,2,例,2,例,2,-2,-1094,1093,练习,:,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和,可以先赋值，然后解方程组整体求解,例,3:,在,(3,x,-,2,y,),20,的展开式中，求系数最大的项,;,解,:,设系数绝对值最大的项是第,r+1,项,.,则,即,3(,r,+1)2(20,-,r,),得,2(21,-,r,)3,r,所以当,r,=8,时，系数绝对值最大的项为,杨辉三角的其它规律,第,0,行,1,1,、杨辉三角的第,2,k,-1,行的各数字特点,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,第,5,行,1 5 10 10 5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,第,7,行,1 7 21 35 35 21 7 1,杨辉三角的第,2,k,-1,行,(k,是正整数,),的各个数字都是,奇数,（,质数的积）,第,0,行,1,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,第,5,行,1 5 10 10 5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,第,7,行,1 7 21 35 35 21 7 1,2,、杨辉三角中若第,P,行除去,1,外，,P,整除其余的所有数，则行数,P,是,质数,(,素数,),思考,1,求证,:,略证：由,(1+,x,),n,(1+,x,),n,=(1+,x,),2,n,，两边展开后比较,x,n,的系数得：,再由 得,思考,2,求证：,证明：,倒序相加法,试证明在,(,a,+,b,),n,的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,即证：,证明：在展开式 中,令,a,=1,，,b,=,1,得,启示：在二项式定理中，对,a,b,赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法,赋值法,.,思考,1:,略证：由,(1+,x,),n,(1+,x,),n,=(1+,x,),2,n,，两边展开后比较,x,n,的系数得：,再由 得,求证,:,思考,2,1.,当,n,10,时常用杨辉三角处理二项式系数问题,;,2.,利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值,;,3.,常用赋值法解决二项式系数问题,.,