极限与连续整章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,第一章极限与连续,数列的极限,函数的极限,无穷大量与无穷小量,极限的运算法则,二个重要极限,无穷小的比较,函数的连续性,极限概念在经济学中应用,1.,数列的定义,一个定义在正整数集合上的函数,(,称为整标函数,),当自变量按正整数依次增大的顺序取值时，函数值按对应的顺序排成一串数：,称为一个无穷数列，简称数列数列中的每一个数称为数列的项， 称为数列的一般项。,数列的极限,下面我们来看几个无穷数列的例子,先找出它们的通项,截丈问题：,“,一尺之棰，日截其半，万世不竭”,我们再来分析一下这几个数列的变化趋势,问题,:,“,无限接近”意味着什么,?,如何用数学语言刻划它,.,如果数列没有极限,就说数列是发散的,.,数列极限的定义未给出求极限的方法,.,例,证,所以,注意：,说明：,数列是一种特殊的函数，以项数为自变量的整标函数,如果一个数列有极限，我们就称此数列是收敛的，否则就称它是发散的,常数数列的极限为此常数,一自变量趋向无穷大时函数的极限,二自变量趋向有限值时函数的极限,三极限的性质,第二节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,1+,1,0,x,y,一般的对于函数,和常数,A,，若, 时，,无限趋近于,A,，则称,A,为 时函数,的极限，记为,当,的绝对值无限增大时,(,记为,),的值无限趋近于,1,，,x,注意：,是刻划,（,x,）,与,A,的接近程度的，是任意给定的，,M,是随 而定的。,两种特殊情形,:,当 沿 轴的正向趋向无穷时，函数,无限趋近于常数,A,，则称常数,A,为,+,时，函数,的极限。记为,当 沿 轴的负向趋向无穷时，函数,无限趋近于常数,A,，则称常数,A,为,-,时函数,的极限。记为,二、自变量趋向有限值时函数的极限,例,1,函数,由观察可知，当 趋,近于,1,（记为,1,）时，函数 的值无限趋近,4,， 我们称,4,为,1,时，,的极限。记为,无限接近于,0,例,2,的值无限接近,8,。,换言之， 当,1,时，,（此时可以说,8,就是,1,函数,的极限）,那么,8,就是当,1,时，函数,的极限,（此时可以说,13,就是,2,时，函数,的极限）,例,3,=,5 +3,当,2,时，,的值无限接近,13,。,换言之，当,2,时，,就说当,2,时，函数,的极限是,13,无限接近于,0,（无限小）,2.,几何解释,:,注意：,定理,4(,唯一性定理,),如果函数在某一变化过程中,有极限，则其极限是唯一的,函数极限的性质,定理,5(,有界性定理,),若函数,f,(,x,),当,x x,0,时极限存在，,则必存在,x,0,的某一邻域，使得函数,f,(,x,),在该邻域内有界,定理,6(,两边夹定理,),如果对于,x,0,的某邻域内的一切,x,(,可以除外,),，有,，且,则,3.,单侧极限,:,例如,当 从,0,的左侧趋向于,0,时，有,当 从,0,的右侧趋向于,0,时，有,1-x,x,2,+1,左右极限存在但不相等,例,8,证,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在,.,例如,注意,1.,无穷小是变量,不能与很小的数混淆,;,2.,零是可以作为无穷小的唯一的数,.,一、无穷小,1.,定义,:,极限为零的变量称为,无穷小量,.,无穷小与无穷大,2.,无穷小与函数极限的关系,:,3.,无穷小的运算性质,:,定理,2,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,.,定理,3,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小,.,定理,4:,有限个无穷小的乘积也是无穷小,.,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为,无穷大,.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.,无穷大是变量,不能与很大的数混淆,;,3.,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,.,三、无穷小与无穷大的关系,定理,4,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小,;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,.,四、小结,1,、主要内容,:,2,、几点注意,:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的,.,（,1,） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（,2,）,无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,.,（,3,） 无界变量未必是无穷大,.,一、极限运算法则,定理,第四节极限的运算法则,推论,1,常数因子可以提到极限记号外面,.,推论,2,二、求极限方法举例,例,1,解,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例,2,解,例,3,(,消去零因子法,),例,4,解,(,无穷小因子分出法,),无穷小分出法,:,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,.,例,5,解,先变形再求极限,.,例,6,解,例,7,解,左右极限存在且相等,三、小结,1.,极限的四则运算法则及其推论,;,2.,极限求法,;,a.,多项式与分式函数代入法求极限,;,b.,消去零因子法求极限,;,c.,无穷小因子分出法求极限,;,d.,利用无穷小运算性质求极限,;,e.,利用左右极限求分段函数极限,.,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,第五节 两个重要极限,一 极限存在准则,二 两个重要极限,三 小结,四 思考题,一、极限存在准则,1.,夹逼准则,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意,:,2.,单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,例,3,解,二、两个重要极限,(1),例,例 求,(2),例,4,解,令,三、小结,1.,两个准则,2.,两个重要极限,夹逼准则,;,单调有界准则,.,一、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,.,不可比,.,观察各极限,无穷小的比较,定义,:,例,1,解,例,2,解,常用等价无穷小,:,二、等价无穷小替换,定理,(,等价无穷小替换定理,),证,例,3,解,不能滥用等价无穷小代换,.,对于代数和中各无穷小不能分别替换,.,注意,例,4,解,解,错,三、小结,1.,无穷小的比较,:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,.,2.,等价无穷小的替换,:,求极限的又一种方法,注意适用条件,.,高,(,低,),阶无穷小,;,等价无穷小,;,无穷小的阶,.,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,函数的连续性,一 连续函数的概念,二 函数的间断点,三 连续函数的运算法则,四 闭区间上连续函数的性质,一、函数的连续性,1.,函数的增量,2.,连续的定义,例,1,证,由定义,2,知,3.,单侧连续,定理,例,2,解,右连续但不左连续,4.,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的,连续函数,或者说函数在该区间上连续,.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,.,二、函数的间断点,例,4,解,例,5,解,例,6,解,例,7,解,注意,不要以为函数的间断点只是个别的几个点,.,三、小结,1.,函数在一点连续必须满足的三个条件,;,2.,区间上的连续函数,;,四、四则运算的连续性,定理,1,例如,极限符号可以与函数符号互换,;,例,1,解,六、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,定理,5,基本初等函数在定义域内是连续的,.,定理,6,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,例如,在,0,点的邻域内没有定义,.,1.,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续,;,注意,例,3,例,4,解,解,注意,2.,初等函数求极限的方法,代入法,.,定理,1(,最大值和最小值定理,),在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,.,七 闭区间上连续函数的性质,推论,(,有界性定理,),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,.,证,定义,:,几何解释,:,例,1,证,由零点定理,四、小结,连续函数的和差积商的连续性,.,复合函数的连续性,.,初等函数的连续性,.,定义区间与定义域的区别,;,求极限的又一种方法,.,反函数的连续性,.,