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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,前言,第 八 章 晶体的能带结构,从STM得到的硅晶体,表面的原子结构图,物理学前言之一,材料的性质,大规模集成电路,半导体激光器,超导,人工微结构,1,8.1 晶体的能带,一.电子共有化,晶体具有大量分子、原子或离子有规则,排列的点阵结构。,电子受到周期性势场的作用。,a,按量子力学须解定态薛定格方程。,2,解定态薛定格方程(略），,可以得出两点重要结论：,1.电子的能量是分立的能级;,2.电子的运动有隧道效应。,原子的外层电子(高能级)，势垒穿透概率,较大，电子可以在整个晶体中运动,称为,共有化电子。,原子的内层电子与原子核结合较紧,一般,不是 共有化电子。,3,二.能带,(energy band),量子力学计算表明，晶体中若有,N,个,原子，由于各原子间的相互作用，对应于,原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变,成了,N,条靠得很近的能级,称为,能带,。,晶体中的电子能级,有什么特点？,4,能带的宽度记作,E,，数量级为,E,eV。,若,N,10,23,则能带中两能级的间距约10,-23,eV。,一般规律：,1.越是外层电子，能带越宽，,E,越大。,2.点阵间距越小，能带越宽，,E,越大。,3.两个能带有可能重叠。,5,离子间距,a,2P,2S,1S,E,0,能带重叠示意图,6,三.能带中电子的排布,晶体中的一个电子只能处在某个能带中的,某一能级上。,排布原则：,1.服从泡里不相容原理（费米子）,2.服从能量最小原理,设孤立原子的一个能级,E,nl,，,它最多能容纳 2(2 +1)个电子。,这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，,能带最多能容纳 2N(2,l,+1)个电子。,7,电子排布时，应从最低的能级排起。,有关能带被占据情况的几个名词：,1满带（排满电子）,2价带（能带中一部分能级排满电子）,亦称导带,3空带（未排电子）,亦称导带,4禁带（不能排电子）,2、3能带，最多容纳 6N个电子。,例如，1、2能带，最多容纳 2N个电子。,2N(2,l,+1),8,一.布洛赫定理,一个在周期场中运动的电子的波函数应,具有哪些基本特点？,在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）,和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究,周期场中电子的运动问题。他们的工作为,晶体中电子的能带理论奠定了基础。,布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子,波函数的特点。,8.2（补充）布洛赫定理 空间,9,在一维情形下，周期场中运动的电子能量,E(k),和波函数 必须满足定态薛定谔方程,k,-表示电子状态的角波数,V(x)-,周期性的势能函数，它满足,V(x)=V(x+n a),a -,晶格常数,n,-任意整数,10,布洛赫定理：,式中 也是以,a,为周期的周期函数，即,*,注,*,：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者,可以查阅固体物理学黄昆原著,韩汝琦改编（1988）P154,具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数,或布洛赫函数。,满足（1）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式,11,布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子,波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有,晶体结构周期性的函数 的乘积。,只有在 等于常数时，在周期场中运动的,电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。,这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的,倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。,因此，布洛赫函数是比自由电子波函数,更接近实际情况的波函数。,它是按照晶格的周期,a,调幅的行波。,12,实际的晶体体积总是有限的。因此必须,考虑边界条件。,设一维晶体的原子数为,N,它的线度为,L=Na,则布洛赫波函数 应满足如下条件,此式称为周期性边界条件。,二.周期性边界条件,采用周期性边界条件以后，具有,N,个晶格点的,晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：,在固体问题中，为了既考虑,到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限,的，我们经常合理地采用,周期性边界条件,：,13,由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的,波数,k,只能取一些特定的分立值。,a,a,周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。,图 2 周期性边界条件示意图,14,左边为,右边为,所以,由周期性边界条件,即周期性边界条件使,k,只能取分立值：,证明如下:,按照布洛赫定理：,15,k,是代表电子状态的角波数,n,是代表电子状态的量子数。,对于三维情形,电子状态由一组量子数(,n,x,、,n,y,、,n,z,)来代表。,它对应一组状态角波数（,k,x,、,k,y,、,k,z,）。,一个 对应电子的一个状态。,16,我们以 为三个直角坐标轴，建立一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、,空间，或动量空间*。,k,x,、,k,y,、,k,z,由于德布洛意关系 ，即 ，,所以 空间也称为动量空间。,注：,在 空间中，电子的每个状态可以用,一个状态点来表示，这个点的坐标是,三.空间,17,k,y,k,x,0,-,1,1,2,-,2,3,-,3,1,-1,2,-,2,-,3,3,上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向，,电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。,图 3 表示二维 空间每个点所占的面积是 。,因此，空间中每个状态点所占的体积为 。,图 3 二维 空间,示意图,18,8.3 克朗尼格-朋奈模型 能带中的能级数目,一.克朗尼格-朋奈模型,能带理论是单电子近似理论。,布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，,其波函数一定是布洛赫函数。,下面我们通过一个最简单的一维周期场-,克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney）模型来说明,晶体中电子的能量特点。,周期性边界条件的,引入,说明了电子的状态是分立的。,它把每个电子的,运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。,现在再来说明电子的能量有什么特点？,回顾,：,19,克朗尼格-朋奈模型是把图1的周期场简化为,图 4 所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的,周期势场中运动。,在 0 x,a 一,个周期的区域中，电子的势能为,0,c,a,U,0,U(x),x,b,图 4,克朗尼格-朋奈模型,20,按照布洛赫定理，波函数应有以下形式,式中,即可得到 满足的方程,将波函数 代入定态薛定谔方程,21,利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理,（自然）条件，进行一些必要的推导和简化，,最后可以得出下式,注,*,：有兴趣的读者可参阅固体物理基础,蔡伯熏编（1990）P 268。,式中,而 是电子波的角波数,*,。,（4）式就是电子的能量,E,应满足的方程,也是电子,能量,E,与角波数,k,之间的关系式。,22,(4)式的,左边是,能量,E,的一个较复杂的函数，记作,f,(,E,)；,由于 ，,所以使 的,E,值,都不满足方程。,下图5 为 给出了一定的,a、b、U,0,数值后的,f,(,E,)：,右边是,角波数,k,的函数。,23,由图看出，在允许取的,E,值（暂且称为能级）之间，,有一些不允许取的,E,值（暂且称为能隙）。,下面 的图 6 为,E k,曲线的某种表达图式。,图 5,f(E),函数图,f(E),E,24,E,2,E,3,E,5,E,4,E,6,E,7,E,1,0,E,图 6,E k,曲线的表达图式,25,两个相邻能带之,间的能量区域称,为,禁带,。,晶体中电子的能量,只能取能带中的数,值，而不能取禁带,中的数值。,图中 为,“许可的能量”，,称为,能带*,。,E,2,E,3,E,5,E,4,E,6,E,7,E,1,0,E,图 6,E k,曲线的表达图式,26,E k,曲线与,a,有关、与,U,0,b,乘积有关。,乘积,U,0,b,反映了势垒的强弱。,由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大，,与外层电子相比，它们的势垒强度较大。,计算表明：,U,0,b,的数值越大所得到的能带越窄。,所以，内层电子的能带较窄。,外层电子的能带较宽。,27,从,E k,曲线还可以,看出：,k,值越大，,相应的能带越宽。,由于晶体点阵常数,a,越小，相应于,k,值越大。,因此，晶体点阵常数,a,越小，能带的宽度就越大。,有的能带甚至可能出现重叠的现象。,这些都与,8.1,节“概述”中介绍的结论是一致的。,E,2,E,3,E,5,E,4,E,6,E,7,E,1,0,E,图 6,E k,曲线的表达图式,28,二.能带中的能级数,晶体中电子的能量不能取禁带中的数值，,只能取能带中的数值。由 图 5 可以看出：,第一能带,k,的取值范围为,第二能带,k,的取值范围为,第三能带,k,的取值范围为,每个能带所对应的,k,的取值范围都是,*,。,注,*,：我们把以原点为中心的第一能带所处的,k,值,范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的,k,值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。,29,所以，晶体中电子的能带中有,N,个能级。,电子在晶体中按能级是如何排布的呢？,电子是费密子，它的排布原则有以下两条：,（1）服从泡里不相容原理,（2）服从能量最小原理,而在 空间每个状态点所占有的长度为 ，,因此，每一能带中所包含的（状态数）能级数为,每个能带所对应的,k,的取值范围都是 。,30,对于孤立原子的一个能级,E,nl,按照泡里不相容原理,，最多能容纳 2（2,l,+1）,个电子。,在形成固体后，这一能级分裂成 由,N,条能级组成,的能带了，它最多能容纳的电子数为 2,N,(2,l,+1)个。,例如，对孤立原子的1S、2S能级,在形成固体后相应,地成为两个能带。它们最多能,容纳的电子数为,2,N,个。,对孤立原子的 2P、3P能级,在形成固体后也相应地,成为两个能带。它们最多能,容纳的电子数为,6,N,个。,电子排布时还得按照能量最小原理,从最低的能级排起。,31,孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可能未填满了电子。若原来填满电子的，,在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。,若孤立原子中较高的电子能级上没有电子，,在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。,若原来未填满电子的，,在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。,孤立原子的内层电子能级一般都是填满的，,在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。,32,排满电子的能带称为,满带,；,排了电子但未排满的称为,未满带,（或,导带,）；,未排电子的称为,空带,；,（有时也称为,导带,）；,两个能带之间的,禁带,是不能排电子的。,33,8.4 导体和绝缘体,（conductor insulator）,它们的导电性能不同，,是因为它们的能带结构不同。,晶体按导电性能的高低可以分为,导体,半导体,绝缘体,34,导体,导体,导体,半导体,绝缘体,E,g,E,g,E,g,35,在外电场的作用下，大量共有化电子很,易获得能量，集体定向流动形成电流。,从能级图上来看，,是因为其共有化电子,很易从低能级跃迁到高能级上去。,E,导体,36,从能级图上来看，是因为满带与空带之间,有一个,较宽的禁带,（,Eg,约36 eV），,共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到,高能级（空带）上去。,在外电场的作用下，共有化电子很难接,受外电场的能量，所以形不成电流。,的能带结构,满带与空带之间也是禁带，,但是,禁带很窄,（,E g,约0.12 eV )。,绝缘体,半导体,37,绝缘体与半导体的击穿,当外电场非常强时，它们的共有化电子还是,能越过禁带跃迁到上面的空带中的。,绝缘体,半导体,导体,38,
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