概率单元复习小结

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率与统计,知识结构,随机事件,古典概型,几何概型,随机数与随机模拟,频率,概率的意义与性质,概率的实际应用,相关概念,1,、随机事件,2,、必然事件,3,、不可能事件,在条件,S,下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件,S,的随机事件，简称,随机事件,。,在条件,S,下一定会发生的事件，叫做相对于条件,S,的必然事件，简称,必然事件,。,在条件,S,下一定不会发生的事件，叫做相对于条件,S,的不可能事件，简称,不可能事件,。,确定事件,和,随机事件,统称为,事件,，一般用大写字母,A,、,B,、,C,表示。,频率的定义,在相同的条件,S,下重复,n,次试验，观察某一事件,A,是否出现，称,n,次试验中事件,A,出现的次数,n,A,为事件,A,出现的频数，称事件,A,出现的比例,f,n,(A)=n,A,/n,为事件,A,出现的频率。,思考：频率的取值范围是什么？,0,，,1,必然事件出现的频率为,1,，不可能事件出现的频率为,0,。,概率的定义,对于给定的随机事件,A,，如果随着试验次数的增加，事件,A,发生的频率,f,n,(A),稳定在某个常数上，把这个常数记做,P,（,A,），称为事件,A,的概率，简称为,A,的,概率,。,思考：概率的取值范围是什么？,0,，,1,(,一）、事件的关系与运算,对于事件,A,与事件,B,，如果事件,A,发生，则事件,B,一定发生，这时称事件,B,包含事件,A,（或称事件,A,包含于事件,B,）,.,1.,包含关系,A,B,记作,:B,A,（或,A,B,）,概率的基本性质,2.,相等事件,一般地，若,B,A,，且,A,B,，那么称事件,A,与事件,B,相等。,记作,:A=B.,注：,（,1,）图形表示：,B(A),（,2,）两个相等的事件总是同时发生或同时不发生。,3.,并（和）事件,若某事件发生当且仅当事件,A,或事件,B,发生，则称此事件为事件,A,与事件,B,的并事件（或和事件）,.,记作：,A,B,（或,A+B,）,图形表示：,A,B,4.,交（积）事件,若某事件发生当且仅当事件,A,发生且事件,B,发生，则称此事件为事件,A,与事件,B,的交事件（或积事件）,.,记作：,A,B,（或,AB,）,图形表示：,A,B,某检查员从一批产品中抽取,8,件进行检查，观察其中的次品数,记：,A=“,次品数少于,5,件”,;B=“,次品数恰有,2,件”,C=“,次品数多于,3,件”,;D=“,次品数至少有,1,件”,试写出下列事件的基本事件组成：,A B,，,A C,B C;,例子,AB=A (,A,B,中至少有一个发生,）,AC=“,有,4,件次品”,BC=,5.,互斥事件,若,A,B,为不可能事件（,A,B,=,）那么称事件,A,与事件,B,互斥,.,（,1,）事件,A,与事件,B,在任何一次试验中不会同时发生,.,（,2,）两事件同时发生的概率为,0.,图形表示：,A,B,注：事件,A,与事件,B,互斥时,（,3,）对立事件一定是,互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件,.,6.,对立事件,若,A,B,为不可能事件，,A,B,为必然事件，那么事件,A,与事件,B,互为对立事件。,（,1,）,事件,A,与事件,B,在任何一次试验中有且 仅有一个发生,.,（,2,）事件,A,的对立事件记为,.,图形表示：,A,B,（,4,）,从集合的角度看，事件,A,的对立事件，是全集中的事件,A,所含结果组成的集合的补集,.,注,:,1,、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。,A=,正面朝上,，,B=,反面朝上,A,，,B,是对立事件,A,，,B,是互斥（事件）,2,、某人对靶射击一次，观察命中环数,A=“,命中,4,环”,B=“,命中,5,环”,C=“,命中,6,环”,A,，,B,是互斥 事件,A,，,B,是对立事件,例子,(,二,),、概率的几个基本性质,1.,概率,P,(,A,),的取值范围,（,1,）,0,P,(,A,)1.,（,2,）必然事件的概率是,1.,（,3,）不可能事件的概率是,0.,2.,概率的加法公式：,如果,事件,A,与事件,B,互斥,，则,P,(,A,B,）,=,P,(,A,)+,P,(,B,）,若,事件,A,，,B,为对立事件,，则,P,(,B,）,=1,P,(,A,),3.,对立事件的概率公式,（,1,）取到红色牌（,事件,C,）的概率是多少？,（,2,）取到黑色牌（,事件,D,）的概率是多少？,例,1,如果从不包括大小王的,52,张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（,事件,A,）的概率是 ，取到方片（,事件,B,）的概率是 。问,:,所以,A,与,B,是互斥事件。,根据概率的加法公式，,解,:,因为,C=,A,B,，,且,A,与,B,不会同时发生，,(1),P,(,A,)+,P,（,B,）,得,P,（,C,）,=,所以,C,与,D,为对立事件。,所以,C,与,D,是互斥事件，,又因为,C,D,为必然事件，,（,2,）,1,P,(C),P,（,D,）,=,例,.,某射手射击一次,射中,10,环、,9,环、,8,环、,7,环的概率分别是,0.24,、,0.28,、,0.19,、,0.16,，计算这名射手射击一次,(1),射中,10,环或,9,环的概率；,(2),至多射中,7,环的概率,.,解,:,(1),设,事件,为“,射中,10,环”，,事件,为“射中环”,则和是互斥事件所以射中,10,环或,9,环的概率,P(A),P(B),0.52,解：,(2),设,事件,为“至多射中环”，,事件,为“射中环或环以上”，则和是对立事件所以,P(C),1,P(D),1,(0.19,0.52),0.29,即至多射中,7,环的概率是,0.29,古典概率模型,特点是：,我们将具有这两个特点的概率模型称为,古典概率模型,，简称古典概率。,(1),有限性,：在随机试验中，其可能出现的结果有有限个，即只有有限个不同的基本事件；,(2),等可能性,：每个基本事件发生的机会是均等的。,对于古典概型，任何事件的概率为：,例,1,从字母,a,、,b,、,c,、,d,任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？,解：,所求的基本事件共有,6,个：,a,b,c,d,b,c,d,c,d,树状图,分析：,为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。,我们一般用,列举法,列出所有,基本事件的结果，画,树状图,是列,举法的基本方法。,6,5,4,3,2,1,6,5,4,3,2,1,1,号骰子,2,号骰子,（,6,，,6,）,（,6,，,5,）,（,6,，,4,）,（,6,，,3,）,（,6,，,2,）,（,6,，,1,）,（,5,，,6,）,（,5,，,5,）,（,5,，,4,）,（,5,，,3,）,（,5,，,2,）,（,5,，,1,）,（,4,，,6,）,（,4,，,5,）,（,4,，,4,）,（,4,，,3,）,（,4,，,2,）,（,4,，,1,）,（,3,，,6,）,（,3,，,5,）,（,3,，,4,）,（,3,，,3,）,（,3,，,2,）,（,3,，,1,）,（,2,，,6,）,（,2,，,5,）,（,2,，,4,）,（,2,，,3,）,（,2,，,2,）,（,2,，,1,）,（,1,，,6,）,（,1,，,5,）,（,1,，,4,）,（,1,，,3,）,（,1,，,2,）,（,1,，,1,）,练习：将,A,、,B,两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：,（,1,）共有多少种不同的结果？,（,2,）两数之和是,3,的倍数的结果有多少种？,（,3,）两数之和是,3,的倍数的概率是多少？,36,种,12,种,例,3,、从含有两件正品,a,b,和一件次品,c,的三件产品中每次任取,1,件，,每次取出后不放回,，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。,分析：,样本空间 事件,A,它们的元素个数,n,m,公式,解,：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是,=,(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),n=6,用,A,表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则,A=,(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),m=4,P(A)=,例,4,、从含有两件正品,a,b,和一件次品,c,的三件产品中每次任取,1,件，,每次取出后放回,，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率,.,解：,有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结 果组成的样本空间是,=,(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),n=9,用,B,表示“恰有一件次品”这一事件，则,B=,(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),m=4,P(B)=,巩 固 练 习,2,、,从,1,，,2,3,，,4,5,五个数字中，任取两数，求两数,都是奇数的概率,.,解：,试验的样本空间是,=(12),(13),(14),(15),(23),(24),(25),(34),(35),(45),n=10,用,A,来表示“两数都是奇数”这一事件，则,A=(13),，,(15),，,(3,5),m=3,P(A)=,（,1,，,2,）（,1,，,3,）（,1,，,4,）（,1,，,5,）,（,2,，,3,）（,2,，,4,）（,2,，,5,）,（,3,，,4,）（,3,，,5,）,（,4,，,5,）,因此，共有,10,个基本事件,(2),记摸到,2,只白球的事件为事件,A,，,即,（,1,，,2,）（,1,，,3,）（,2,，,3,）故,P,（,A,）,=3/10,例,6,一只口袋内装有大小相同的,5,只球，其中,3,只白球，,2,只红球，从中一次摸出两只球,(1),共有多少基本事件,(2),摸出的两只球都是白球的概率是多少？,解,:(1),分别记白球,1,2,3,号，红球为,4,5,号,从中摸出,2,只球,有如下基本事件（摸到,1,，,2,号球用（,1,，,2,）表示）：,(1,2),(1,3)(2,3),(1,4)(1,5),(2,4)(2,5),(3,4)(3,5),(4,5),I,A,(3),该事件可用,Venn,图表示,在集合,I,中共有,10,个元素,在集合,A,中有,3,个元素,故,P,（,A,）,=3/10,8,（,摸球问题,）：一个口袋内装有大小相同的,5,个红球和,3,个黄球，,从中一次摸出两个球。,问共有多少个基本事件；,解：,分别对红球编号为,1,、,2,、,3,、,4,、,5,号，对黄球编号,6,、,7,、,8,号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：,（,1,，,2,）、（,1,，,3,）、（,1,，,4,）、（,1,，,5,）、,（,1,，,6,）、（,1,，,7,）、（,1,，,8,）,（,2,，,3,）、（,2,，,4,）、（,2,，,5,）、,（,2,，,6,）、（,2,，,7,）、（,2,，,8,）,（,3,，,4,）、（,3,，,5,）、,（,3,，,6,）、（,3,，,7,）、（,3,，,8,）,（,4,，,5,）、,（,4,，,6,）、（,4,，,7,）、（,4,，,8,）,（,5,，,6,）、（,5,，,7,）、（,5,，,8,）,（,6,，,7,）、（,6,，,8,）,（,7,，,8,）,7,6,5,4,3,2,1,共有,28,个等可能事件,28,8,（,摸球问题,）：一个口袋内装有大小相同的,5,个红球和,3,个黄球，,从中一次摸出两个球。,求摸出两个球都是红球的概率；,设“摸出两个球都是红球”为事件,A,则,A,中包含的基本事件有,10,个，,因此,（,5,，,6,）、（,5,，,7,）、（,5,，,8,）,（,1,，,2,）、（,1,，,3,）、（,1,，,4,）、（,1,，,5,）、,（,1,，,6,）、（,1,，,7,）、（,1,，,8,）,（,2,，,3,