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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,6,章,位移法和力矩分配法,课件制作：黄孟生,第,1,节,等截面单跨超静定梁的杆端内力,单跨超静定梁受荷载作用以及杆端发生位移时的杆端内力，可由力法求得。它们是位移法的基础,.,符号规定：,杆端弯矩、杆端剪力、杆端转角及垂直于杆轴线的杆端线位移，均以顺时针方向为正。,A,B,M,AB,M,BA,F,SAB,F,SBA,单跨超静定梁的内力可由力法求出，它是位移法计算的基础。,1,、单跨超静定梁的固端弯矩和剪力,F,A,B,C,a,b,l,F,A,B,C,X,1,X,2,F,Fa,M,F,X,1,=1,1,M,1,l,X,2,=1,M,2,M,F,S,F,A,B,C,a,b,l,F,A,B,C,X,1,X,2,解得,：,作弯矩图和剪力图,2,、单跨超静定梁在支座移动作用下的杆端内力,A,B,X,1,X,2,M,F,S,A,B,EI,l,A,B,EI,l,A,B,X,1,X,2,M,F,S,A,B,EI,l,A,B,X,1,X,2,A,B,X,1,X,2,表,5,1,给出了等截面单跨超静定梁在支座移动和各种荷载作用下杆端弯矩和杆端剪力,1,、,A,B,EI,l,杆端弯矩,M,AB,M,BA,杆端剪力,F,QAB,F,QBA,4,i,2,i -,6,i/l,-,6,i/l,A,B,EI,l,6,i /l -,6,i/l,12,i/l,2,12,i/l,2,=,1,2,、,式中,A,B,EI,l,ql,2,/,12,ql,2,/,12,ql/,2,-ql/,2,q,4,、,-,Fab,2,/,l,2,Fa,2,b/l,2,Fb,2,(,1,+,2,a/l)/l,3,-Fa,2,(,1,+,2,b/l)/l,3,3,、,A,B,EI,l,杆端弯矩,M,AB,M,BA,杆端剪力,F,QAB,F,QBA,a,b,F,a=b,-Fl/,8,Fl/,8,F/,2,-F/,2,7,、,A,B,EI,l,杆端弯矩,M,AB,M,BA,杆端剪力,F,QAB,F,QBA,3,i,0,-,3,i/l,-,3,i/l,A,B,EI,l,3,i /l,0,3,i/l,2,3,i/l,2,=,1,8,、,A,B,EI,l,ql,2,/,8,0,5,ql/,8,-,3,ql/,8,q,10,、,9,、,A,B,EI,l,杆端弯矩,M,AB,M,BA,杆端剪力,F,QAB,F,QBA,a,b,F,a=b,-,3,Fl/,16,0,11,F/,16,-,5,F/,16,-,Fb(l,2,-b,2,),/2,l,2,0,Fb,(,3,l,2,b,2,)/,2,l,3,-Fa,2,(,2,l+b)/2l,3,B,A,EI,l,14,、,杆端弯矩,M,AB,M,BA,杆端剪力,F,QAB,F,QBA,i -i,0,0,B,A,EI,l,15,、,杆端弯矩,M,AB,M,BA,杆端剪力,F,QAB,F,QBA,-Fa(l+b)/,2,l -Fa,2,/,2,l F,0,F,a,b,a=,0,-Fl/,2,-Fl/,2,F,0,B,A,EI,l,16,、,-ql,2,/,3,-ql,2,/,6,ql,0,q,三、等截面直杆的转角位移方程,单跨超静定梁受到荷载以及支座转动和支座移动共同作用时,叠加原理。,1,、两端固定等截面梁,AB,，其杆端弯矩和剪力：,A,B,EI,l,q,A,B,B,AB,B,A,2,、,A,端固定,B,端铰支的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：,3,、,A,端固定,B,端滑移支座的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：,A,B,B,AB,A,A,B,EI,l,q,A,B,A,B,A,EI,l,q,第,2,节 位移法的基本原理,力法：,是以结构的多余约束力作为未知量，,按照位移条件将多余约束力求出，然后再根据平衡条件求解其他的约束力、内力 以及求位移等等。,位移法：,是以结构的某些位移作为未知量，,利用变形协调条件，通过对超静定梁系的计算建立平衡条件，求出结点位移，再根据内力与位移之间的关系，确定结构的内力。,力法是将超静定结构化为静定结构来计算的。,位移法是将超静定结构化为超静定梁系来计算的。,位移法的提出,图示结构是,6,次超静定结构，但只有一个结点位移（受弯杆件忽略其轴向变形）,力法,6,个未知量。,位移法,用结点位移作为未知量，只有一个未知量,。,F,力法,解法,基本未知量,多余约束力,变超静定结构为静定结构,位移法,结点位移,变超静定结构为单跨梁（杆件）,基本系,位移法：是以结构的结点位移为未知量，利用变形协调条件，,通过对单跨超静定梁系的计算，建立平衡条件，求,出结点位移，进而计算结构内力。,超静定结构,单跨超静定梁系,位移法基本思路,F,A,B,C,EI,=,常量,l,/2,l/,2,l,一、刚架结构,不计杆长变化，结点,B,只有转角位移而无线位移；,变形协调条件,两者受力和变形完全相同；,不同的是：上图转角是由荷载引起的，而下图的转角和力都是外来因素作用在梁上。,F,C,B,A,B,BA,BC,杆,B,端角位移均为,。,F,A,B,C,F,R1,M,BC,M,BA,B,F,R1,附加刚臂,=,平衡条件：,基本系,F,A,B,C,EI,=,常量,l,/2,l/,2,l,F,C,B,A,B,A,B,C,F,R,11,F,A,B,C,F,R,1F,F,A,B,C,F,R1,F,R,1,=,F,R,11,+,F,R,1F,=0,A,B,C,F,R,11,F,A,B,C,F,R1F,F,A,B,C,F,R,1F,M,F,3,Fl/,16,B,F,R,1F,3,i,4,i,B,k,11,k,11,3,i,4,i,2,i,M,1,F,R,1F,=,3,Fl,/16,k,11,=7,i,F,A,B,C,EI,=,常量,l,/2,l/,2,l,M,F,Q,F,A,B,C,F,R,1F,M,F,k,11,3,i,4,i,2,i,M,1,q,A,B,C,EA=,D,l,q,A,B,1,C,D,1,F,SBA,F,R,1,F,SCD,1,二、排架结构,F,R,1,=,F,SBA,+,F,SCD,=0,F,R1,q,A,B,C,EA=,D,基本系,1,1,F,R,1F,q,F,SBAF,B,C,ql,2,/,8,F,SABF,F,SCDF,F,SDCF,F,R,1F,q,A,B,C,ql,2,/,8,D,M,F,F,R,1F,=,F,SBAF,+,F,SCDF,=F,SBAF,=,3,ql/,8,F,SBAF,=-3,ql,/8,F,SCDF,=0,1,=1,k,11,q,F,SBA,3,i/l,3,i/l,F,SAB,F,SCD,F,SDC,k,11,=,F,SBA,+,F,SCD,=6,i,/,l,2,3,i/l,k,11,A,B,C,3,i/l,D,1,=1,M,1,F,SBA,=3,i,/,l,2,F,SCD,=3,i,/,l,2,M,A,B,C,5,ql,2,/,16,D,3,ql,2,/16,q,A,B,C,EA=,D,l,F,R,11,=,k,11,1,=6,i,1,/,l,2,F,R,1,=,F,R,11,+,F,R,1F,=0,1,=,F,R,1F,/,k,11,=,ql,2,/16,i=ql,2,/,16,EI,M=M,1,1,+,M,F,F,R,1F,q,A,B,C,ql,2,/,8,D,M,F,3,i/l,k,11,A,B,C,3,i/l,D,1,=1,M,1,可见：位移法是以结构的结点位移（转角和线位移）作为基本未知量求解。,若有,n,个刚结点，则有,n,个转角未知量，以相应的刚结点建立,n,个力矩平衡方程；,若有,m,个独立的结点线位移未知量，则需考虑某些横梁（也包括某些立柱）部分的平衡，建立,m,个投影平衡方程；,求出结点位移后，便可以确定结构的内力。,第,3,节,位移法基本未知量、基本系和典型方程,基本未知量：结点的独立,角位移和线位移,。,角位移基本未知量,刚结点的转角,其数目等于刚结点的总数,一、角位移,A,E,B,D,C,F,G,C,、,D,部分去掉,A,E,B,D,C,F,B,处,两个刚结点,B,、,C,两个刚结点,二、线位移,线位移基本未知量,结点的独立线位移,不考虑轴向变形,的前提下，把所有的刚结点和固定端改为铰结点和固定铰支座，使刚架变成一铰结体系。再分析几何组成，凡是可动的结点，用增加附加链杆方法，使铰结体系成为几何不变体系为止。,1,2,1,2,三、线位法基本未知量的确定,位移法的基本未知量数目等于刚结点的角位移和结点的独立线位移二者数目之和。,四、基本系,在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂；,在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。,四、典型方程,。,F,R,3,F,F,R,2,F,R,1,1,2,3,五、位移法的计算步骤和计算举例,一、计算步骤：,1,、确定位移基本未知量,建立基本系；,2,、分别求出基本系在荷载、单位转角和单位线位移作用下的杆端弯矩和杆端剪力的表达式；,3,、,建立位移法典型方程；,4,、解方程求解各基本未知量；,5,、,求各杆的杆端内力作内力图,6,、,校核。,在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂；,在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。,利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某部分的投影平衡条件求出刚结点处的约束力偶和约束力,R,iF,r,ij,；,F,A,B,C,EI,l/2,l,l/2,EI,例,1,基本体系,F,R,1,F,A,B,C,R,1F,=,3,Fl/,16,1,=,3,Fl,2,/,112,M,1,k,11,A,B,C,=1,3,i,4,i,2,i,k,11,=,7,i,M,F,F,R,1F,F,A,B,C,-3,Fl,/16,M,F,A,B,C,3,Fl,/28,3,Fl,/56,11,Fl,/56,F,S,A,B,C,17,F,/28,9,F,/56,11,F,/28,F,R,1F,3,Fl,/16,k,11,3,i,4,i,基本体系,q,A,B,C,D,F,R,1,F,R,2,2,例,2,EI=,常数,24,kN/m,A,B,C,D,4m,4m,30,kN,F,R,1F,=32kNm,F,R,2F,=,78kN,M,F,q,A,B,C,D,F,R,1F,F,R,2F,32,32,30,kN,F,R,1F,3,2,B,F,R,1F,F,R,2F,B,C,30,48,M,BA,=,ql,2,/12=32kNm,F,SBA,=-,ql,/2=-48kN,2,i,4,i,C,D,k,11,k,21,3,i,M,1,k,11,=7,i,k,21,=,3,i/2,k,22,=15,i/16,6,i/l,6,i/l,C,D,k,12,k,22,2,=1,M,2,k,12,6,i,/,l,k,11,3,i,4,i,k,12,=,6,i,/,l,k,11,k,21,B,C,6i/,l,2,=1,k,12,k,22,B,C,12,i,/,l,2,3,i,/,l,2,解方程,按弯矩叠加公式,画弯矩图,得,M,(kNm,),48,A,86.61,C,D,164.87,60.52,B,F,S,(kN,),5.13,A,C,D,104.35,8.35,B,21.65,F,N,(kN,),A,C,D,15.13,B,21.65,15.13,2,i,4,i,C,D,k,11,k,21,3,i,M,1,6,i/l,6,i/l,C,D,k,12,k,22,2,=1,M,2,M,F,q,A,B,C,D,F,R,1F,F,R,2F,32,32,30,kN,q,A,B,C,D,l,l,l,基本体系,q,A,B,C,D,F,R1,F,R3,F,R2,3,*,例,3,解：确定基本未知量，建立基本系,M,F,q,A,B,C,D,F,R,1F,F,R,3F,F,R,2F,ql,2,/12,ql,2,/12,2,i,4,i,C,D,k,11,k,31,k,21,4,i,2,i,M,1,k,11,=8,i,k,21,=2,i,k,31,=,6,i/l,F,R,1F,=,ql,2,/12,F,R,2F,=0,F,R,3F,=,ql,/2,F,R,1F,B,ql,2,/12,B,C,D,F,R1F,F,R,3F,F,R,2F,-ql,/2,k,11,B,4,i,4,i,k,21,C,2,i,B,C,D,k,11,k,31,k,21,6,i,/,l,分别求出基本系在荷载、单位转角和单位线位移作用下的杆端弯矩和杆端剪力的表达式，并确定典型方程系数；,F,R,2F,C,3,i,C,D,k,12,k,32,k,22,4,i,2,i,M,2,6,i/l,6,i/l,C,D,k,13,k,33,k,23,3,=1,M,3,k,22,=7,i,k,32,=0,k,23,=0,k,22,C,4,i,3,i,k,12,B,2,i,k,12,=2,i,k,33,=12,i/l,2,k,13,=,6,i/l,k,13,B,6,i/l,B,C,D,k,13,k,33,k,23,12,i,/,l,2,3,=1,B,C,D,k,12,k,32,k,22,k,23,C,代人方程,解方程,按弯矩叠加公式,画弯矩图,3,i,C,D,k,12,k,32,k,22,4,i,2,i,M,2,6,i/l,6,i/l,C,D,k,13,k,33,k,23,3,=1,M,3,M,F,q,A,B,C,D,F,R,1F,F,R,3F,F,R,2F,ql,2,/12,ql,2,/12,2,i,4,i,C,D,k,11,k,31,k,21,4,i,2,i,M,1,0.0323,ql,2,0.129,ql,2,0.371,ql,2,M,1,=0.03763,ql,2,/i,2,=,0.01075,ql,2,/i,3,=0.0605,ql,2,/i,0.0323,ql,2,0.129,ql,2,0.371,ql,2,M,F,N,0.162,ql,0.162,ql,0.0323,ql,ql,F,S,q,A,B,C,D,l,l,l,*,例,4,q,12,kN/m,A,B,C,D,2m,2m,2m,E,q,12,kN/m,A,B,C,D,E,基本体系,F,R1,F,R2,2,M,F,B,C,D,E,F,R1F,F,R2F,4,6,4,3,i,A,B,C,D,E,k,11,k,21,3,i,4,i,2,i,M,1,3,i/,2,A,B,C,D,E,k,12,k,22,2,=1,3,i,/2,6,i,/2,6,i,/2,M,2,k,11,=10,i,k,21,=,3,i/2,k,22,=18,i/4,F,R,1F,=,2,F,R,2F,=-27,解方程,按弯矩叠加公式,画弯矩图,得,12,kN/m,A,B,C,D,15.53,27.69,1.74,E,20.85,1.74,4.79,9.59,D,B,C,E,A,20.85,3.48,7.06,10.53,9.59,M,(kNm,),B,A,B,C,D,E,B,E,F,SBA,3,i,4,i,2,i,F,SBC,r,21,F,SED,*,例,5,A,B,C,l,l,基本体系,F,R1,A,B,C,c,M,C,F,R1c,A,B,C,c,k,11,A,B,C,3,i,4,i,2,i,M,1,A,B,C,l,l,c,A,B,C,M,12,EI,c,7,l,2,6,EIc,7,l,2,A,B,C,18,EIc,7,l,3,12,EIc,7,l,3,F,S,A,B,C,18,EIc,7,l,3,12,EIc,7,l,3,F,N,六、对称性的利用,利用结构的对称性可简化计算：,1,、结构对称，在对称荷载作用下，其变形、位移、内力和反力均对称，即对称截面上只有对称的内力；,2,、结构对称，在反对称荷载作用下，其变形、位移、内力和反力均反对称，即在对称截面上只有反对称内力。,奇跨数对称荷载,A,B,C,D,E,F,F,A,B,C,D,E,F,偶跨数对称荷载,A,B,C,D,E,q,1,F,q,2,A,B,C,D,E,q,1,q,2,奇跨数反对称荷载,A,B,C,D,E,F,F,A,B,C,D,E,F,偶跨数反对称荷载,A,B,C,D,E,F,G,F,I,I,I,I,I,I,A,B,C,D,E,F,G,I,I,I/,2,I/,2,q,q,a,a,q,a/2,a/2,例如,:,基本体系,R,1,q,q,a/2,a/2,R,1F,q,r,11,r,11,=2,i=2EI/,(,a/,2),=4EI/a,R,1F,=,q,(,a/2,),2,/3=,qa,2,/12,得,i,i,ql,2,/3,ql,2,/6,q,q,a,a,qa,2,/,12,qa,2,/,24,qa,2,/,12,qa,2,/,24,qa,2,/,24,qa,2,/,24,M,第,4,节 力矩分配法的基本概念,力矩分配法是以位移法为基础的一种渐近法。,适用于连续梁和无侧移刚架。,采用直接计算杆件的杆端弯矩的方法。,1,、转动刚度,A,B,EI,l,S,AB,AB,梁，使,A,端转动,=1,角度,时，所施加的力矩称为,AB,杆在,A,端转动刚度，用,S,AB,表示。,两端固端杆：,S,AB,=4,i,一端固端，一端铰支杆：,S,AB,=3,i,一端固端，一端定向支座杆：,S,AB,=,i,2,、分配系数,1i,-,汇交于结点,1,各杆在近端的分配系数，,i,-,各杆的远端,其中：,S,12,=4,i,S,14,=3,i,S,13,=,i,1,2,3,4,M,e,1,M,e,M,12,M,14,M,13,M,1i,=S,1,i,1,-,汇交于结点,1,的各杆在,1,端的转动刚度之和,-,分配弯矩,3,、传递系数和传递弯矩,M,21,=,2,i,12,1,远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用,C,1i,表示。,C,12,=1/2,C,13,=,-,1,M,31,=,-,i,12,1,M,41,=,0,C,41,=0,M,i1,=,C,1i,M,1i,-,传递弯矩,显然,1,2,3,4,M,e,求解过程：,1,、按各杆的分配系数求出近端的分配弯矩,-,分配过程；,2,、近端弯矩乘以传递系数得到远端的传递弯矩,-,传递过程。,经过分配和传递求出各杆的杆端弯矩的方法,-,力矩分配法。,例,5-1,试用力矩分配法求图示刚架的各杆端弯矩，并画出弯矩图。,3m,2m,A,4m,50kN,15kN/m,B,D,C,4m,解：,1,、求各杆的杆端弯矩（表,6-1,）,:,2,、求各杆的分配系数,:,3,、求刚杆的传递系数（表,6-1,）,C,AB,=0,，,C,AC,=1/2,C,AD,=1/2,分配、传递计算过程列表如下：,杆端,A,B,0,A,C,、,D,1/2,BA,AB,AC,AD,DA,CA,分配系数,0.3,0.3,0.4,固端弯矩,0,30,0,-24,36,分配弯矩,与传递弯矩,-1.8,-1.8,-2.4,0,-1.2,-0.9,最后弯矩,0,28.2,-1.8,-26.4,34.8,-0.9,最后作弯矩图如图所示,3m,2m,A,4m,50kN,15kN/m,B,D,C,4m,28.2,26.4,A,0.9,30,34.8,B,D,C,1.8,28.56,M,(kNm,),第,5,节 力矩分配法计算举例,(,略,),
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