复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法,李晓红,西南科技大学理学院,11/26/2024,复变函数积分的定义,复变函数积分的性质,柯西定理,柯西积分公式,复变函数的积分,复变函数的积分,.积分的定义：,说明：,(1)当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在；,(2)可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.,复积分的基本性质,(1)若,f,(,z,)沿,L,可积，且,L,由,L,1 和,L,2 连接而成，则,(2)常数因子,k,可以提到积分号外，即,(3)函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即,(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号.,即,其中，,L,-,为,L,的负向曲线,闭曲线的正方向：曲线上点顺此方向沿该,曲线前进时，邻近P点曲线内部始终位于P点,的左方,0,x,y,1,1,1+i,0,x,y,1,1,1+i,解法一,例 计算 其中,C,以,z,0,为,中心，,r,为半径的正方向，,n,为整数,解：的方程为,所以：,结论：与积分路线的圆周中心及半径无关,柯西定理,如果函数在单,连通区域内处处解析那么函数,沿内任何一条封闭曲线的积分为零,柯西定理：,如果曲线是区域的边界，在内及,上解析即在闭区域上解析,则,柯西古萨积分定理,注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为,在区域,D,内解析，在边界上连续,以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立,这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，,古萨(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为,柯西古萨定理,.,柯西定理推论,这个定理可用来计算周线内部有奇点的积分!,柯西定理2,柯西积分公式,有界区域的单连通柯西积分公式,定理 （柯西积分公式）如果 在有界区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D,为L内的任一点，那么,称为柯西积分公式。,柯西积分公式,意义:对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了,结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等,设,f,(,z,)在区域,D,内解析，在边界,C,上连续，则,任意阶导数,在区域,D,内函数,f,(,z,),的任意阶导数存在，且：,2.Morera 定理,：设函数,f,(z)在区域,D,内连续，且沿区域内任,意围线积分为零，则该函数在区域,D,内解析。,柯西积分公式的重要推论,例 计算 其中,C,以,z,0,为,中心，,r,为半径的正方向，,n,为整数,1,y,1,C,1,O,L,x,1,C,2,解题思路,1,y,1,C,1,O,L,x,1,C,2,计算积分,【解】（1）注意到 在复平面内解析，而,-,i,在积分环路C内，由柯西积分公式得,（2）注意到函数 在 内解析，而,i,在 内，由柯西积分公式得,【,解,】根据柯西积分公式，得到,故得到,任何两个原函数相差一个常数,不定积分的定义,:,定理,(复积分的Newton-Leibnitz公式),例题,例2,计算积分,【解法1】,在整个复平面上解析，且,例3 计算积分,可用分部积分法得,【解】由于,在复平面内处处解析，,复变函数积分计算方法总结,方法一,方法二,方法三,方法四,作 业,P31：2-10（任选1个）；,P31：2-11（任选2个）；,P32：2-12；,