初三数学一元二次方程典型应用题

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一元二次方程典型应用,二、目标分析,知识与技能,：,能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程。提高数学建模能力，观察归纳能力，问题意识能力。,过程与方法,：,经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。,情感、态度与价值观,：,通过用一元二次解决实际问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展的作用。体会做数学的快乐，培养用数学的意识,。,重难点分析,重点,：,列一元二次方程解实际问题,难点：,发现问题中的等量关系,复习问题，提出新知,1.列方程解应用题的基本步骤怎样？,（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。,（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。,（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。,（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。,（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。.,注：（1）在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。,(2)在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：a,方程两边表示同类量 b,方程两边的同类量的单位一样 c,方程两边的数值相等,2.解一元二次方程有哪些方法？,直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,3.一元二次方程常见应用题有哪些类型？,（1）增长率问题 （2）商品定价,（3）储蓄问题 （4）趣味问题,（5）古诗问题（年龄问题）（6）情景对话,(7)等积变形 (8)动态几何问题,增长率问题,例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.,考点：,一元二次方程的应用,专题：,增长率问题,分析：,本题设这两个月的平均增长率是x，十月份的销售额为200（1-20%）万元，十一月份的销售额为200（1-20%）（1+x）万元，十二月份在十一月份的基础上增加x，变为200（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%）（1+x）2万元，进而可列出方程，求出答案,解答：,解：设这两个月的平均增长率是x，十一月份的销售额达到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%）（1+x），十二月份的销售额达到200（1-20%）（1+x）+200（1-20%）（1+x）x=200（1-20%）（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2，200（1-20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=1.21，所以1+x=1.1，所以x=-11.1，即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）答：这两个月的平均增长率是10%,点评：,此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍,商品定价,例2某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？,考点：,一元二次方程的应用,专题：定价,问题,分析：,设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可,解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，由题意，得（40-x）（20+2x）=1200，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元,点评：,本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解,储蓄问题,例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）,解 设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.,整理，得90 x2+145x30.,解这个方程，得x10.02042.04%，x21.63.,由于存款利率不能为负数，所以将x21.63舍去.,答 第一次存款的年利率约是2.04%.,趣味问题,例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？,解：设,竹竿,的长度为X，那么X=(X-4)+(X-2)=X-8X+16+X-4X+4=2X-12X+20,平移过来，X-12X+20=0,(X-10)x（X-2）=0,X取10或2，由于2不符合标准，故舍去，得X=10米,答：竹竿长10米。,古诗问题（年龄问题）,例5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.,大江东去浪淘尽，千古风流数人物；,而立之年督东吴，早逝英年两位数；,十位恰小个位三，个位平方与寿符；,哪位学子算得快，多少年华属周瑜？,解：设十位是X，则个位数是(X+3)两位数就表示成10X+(X+3)=11X+3,所以用“各位平方与寿符”做等量，列方程 11X+3=(X+3)2 X2-5X+6=0,(X-2)(X-3)=0,X1=2或X2=3,X1+3=5 X2+3=6,可得两组解，25或36，因为已知“而立之年督东吴”（而立之年为30岁），所以一定比30大.，25就要舍去。,可得周瑜去世的年龄为36岁。,情景对话,例6春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.,某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？,图1,如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.,如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.,考点：,一元二次方程的应用,分析：,设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游依题意列方程求解,解答：,解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游因为100025=2500027000，所以员工人数一定超过25人可得方程1000-20（x-25）x=27000整理得x2-75x+1350=0，解得x1=45，x2=30当x1=45时，1000-20（x-25）=600700，故舍去x1；当x2=30时，1000-20（x-25）=900700，符合题意答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游,点评：,本题考查的是一元二次方程的应用，难度不大,等积变形,例7将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）,（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.,（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.,以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.,图3,图2,考点：,一元二次方程的应用,专题：,应用题,分析：,（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可,解答：,解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=181513，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图中小路的宽为3米（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，y2=181513，解得y15.4，y2-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米,点评：,此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系,动态几何问题,例8如图4所示，在,ABC,中，C90，,AC,6cm，,BC,8cm，点,P,从点,A,出发沿边,AC,向点,C,以1cm/s的速度移动，点,Q,从,C,点出发沿,CB,边向点,B,以2cm/s的速度移动.,（1）如果,P,、,Q,同时出发，几秒钟后，可使,PCQ,的面积为8平方厘米？,（2）点,P,、,Q,在移动过程中，是否存在某一时刻，使得,PCQ,的面积等于,ABC,的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.,图4,考点：,一元二次方程的应用,专题：,几何动点问题,分析：,（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时PCQ的面积为：122x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）ABC的面积的一半等于 12 12ACBC=12cm2，令 122x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在,解答：,解：（1）设xs后，可使PCQ的面积为8cm2由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12(6-x)2x=8整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2（2）由题意得：SABC=12ACBC=1268=24，即：122x（6-x）=1224，x2-6x+12=0，=62-412=-120，该方程无解，所以，不存在使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半的时刻,点评：,本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解,