随机变量及其概率分布

*,HaiNan,University,第二章 随机变量及其概念分布,第二章 随机事件及其概率分布,1,随 机变量及其分布函数,2,离散型随机变量及其分布函数,3,连续型随机变量及其分布函数,4,随机变量函数的概率分布,1.1,随机变量,1.2,随机变量的分布函数,1,随 机变量及其分布函数,1.1,随机变量,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用,数学分析的方法,来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,1.,为什么引入随机变量,?,1,、有些试验结果本身与数值有关（本身,例如，掷一颗骰子上面出现的点数；,每天从北京站下车的人数；,七月份海南岛的最高温度；,就是一个数）,正如裁判员在运动,2,、在有些试验中，,无关，,种结果,.,试验结果看来与数值,但我们可以引进一个变量来表示它的各,即把试验结果数值化,.,场上不叫运动员的,名字而叫号码一样，,二者建立了一种对,应关系,.,2.,随机变量的引入,实例,在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色,.,=,红色、白色,非数量,将 数量化,可采用下列方法,红色,白色,即有,X,(,红色,)=,1,X,(,白色,)=,0,.,这样便将非数量的,=,红色，白色,数量化了,.,3.,随机变量的定义,X,(,e,),R,实例,4,某公共汽车站每隔,5,分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,是一个随机变量,.,且,X,(,e,),的所有可,能取值为,:,实例,5,设某射手每次射击打中目标的概率是,0.8,现该射手射了,30,次,则,是一个随机变量,.,且,X,(,e,),的所有可能取值为,:,实例,6,设某射手每次射击打中目标的概率是,0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则,是一个随机变量,.,且,X,(,e,),的所有可能取值为,:,随机变量通常用大写字母,X, Y, Z,等表示,.,对随机变量，我们关心它的取值，用其取值,来描述,随机事件,.,都称为,随机事件,.,对于任意的实数,X,，集合,实例,7,一批产品有,50,件，其中有,8,件次品,42,件正品,现从中取出,6,件，,0，1，2，6,表示取出的产品全是正品这一事件；,表示取出的产品至少有一件次品这一,事件,.,令,：,取出 6 件产品中的次品,数,则,是一个随机变量,，,它的取值为,实例,8,上午,8:00,9:00,在某路口观察，,表示通过的汽车数小于,100,辆,表示通过的汽车数大于,50,辆但不超过,100,辆这一随机事件,.,这一事件；,0，1，,令,则,就是一个随机变量,。,：,该时间间隔内通过的汽车数,它的取值为,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,.,(2),随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的,(,样本空间的元素不一定是实数,).,说明,(1),随机变量与普通的函数不同,报童赔钱,报童赔钱, ,卖出的报纸钱不够成本,试将,报童赔钱,这一事件用随机,一报童卖报，,解,为,0.10,元。,他不得把卖不出的报纸退回。,卖出的报纸份数。,变量的表达式表示。,每份,0.15,元，,其成本,报馆每天给报童,1000,份报，,并规定,设,为报童每天,报童赔钱,当 时，,练一练,3.,随机变量的分类,离散型,(1),离散型,随机变量所取的可能值是有限多个或,无限多个,(,可列个,),叫做离散型随机变量,.,观察掷一个骰子出现的点数,.,随机变量,X,的可能值是,:,随机变量,连续型,实例,1,1, 2, 3, 4, 5, 6,.,非离散型,其它,实例,2,若随机变量,X,记为 “,连续射击,直至命中时的射击次数,”,则,X,的可能值是,:,实例,3,设某射手每次射击打中目标的概率是,0.8,现该射手射了,30,次,则随机变量,X,记为“,击中目标,的次数,”,则,X,的所有可能取值为,:,实例,2,随机变量,X,为“,测量某零件尺寸时的测量,误差,”,.,则,X,的取值范围为,(,a,b,),.,实例,1,随机变量,X,为“,灯泡的寿命,”,.,(2),连续型,随机变量所取的可能值可以连续地充,满某个区间,叫做连续型随机变量,.,则,X,的取值范围为,1.2,随机变量的分布函数,对于随机变量,X,我们不仅要知道,X,取哪些值,要知道,X,取这些值的概率,;,而且更重要的是想知,道,X,在任意有限区间,(,a,b,),内取值的概率,.,分布,函数,例如,1.,概念的引入,2.,分布函数的定义,记作,X,F,(,x,),或,F,X,(,x,).,如果将,X,看作数轴上随机点的坐标,则分布函数,F,(,x,),的值就表示,X,落在区间,-,x,的概率,.,x,0,x,X,问：在上 式中，,X, x,皆为变量,.,二者有什,么区别？,x,起什么作用？,F(x),是不是概率？,X,是随机变量, x,是参变量,.,F(x),是,r.v X,取值不大于,x,的概率,.,对于任意的实数，,有,注意事项,说明,(1),分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况,.,(2),分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我,们可以用数学分析的工具来研究 随机变量,.,证明,(,单调不减性,),3.,分布函数的性质,(,归一性,),(,有界性,),证明,所以,即任一分布函数处处,右连续,.,反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个,r.v X,的分布函数,.,也就是说，性质,(1)-(4),是鉴别一个函数是否是某,r.v,的分布函数的充分必要条件,.,试求常数。,解,由分布函数的性质，有,解得,例,1,设随机变量的分布函数为,试说明,F(x),能否是某个,r.v,的分布函数,.,例,2,设有函数,F(x),解,注意到函数,F(x),在 上下降，,不满足性质,(1),，故,F(x),不能是分布函数.,不满足性质,(2),，,可见,F,(,x,),也不,能是,r.v,的分布函数,.,或者,重要公式,利用分布函数计算某些事件的概率,（,1,）,（,2,）,（,3,）,设 是随机变量的分布函数,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,例,3,设随机变量的分布函数为,试求：,解,例,4,抛掷均匀硬币,令,1.,求随机变量,X,的分布函数,.,解,2.,随机变量,X,在区间 上取值的概率,.,例,5,设随机变量,X,的分布函数为,求常数,A,及概率,解,由于分布函数 是右连续的，,所以,又,可得,于是,再由分布函数的性质可知,解,当,x,5,时，,F(x),=1,例,6,在区间,2,，,5,上任意投掷一个质点，以,X,表示这个质点的坐标,.,设这个质点落在,2, 5,中意,小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求,X,的分布函数.,设,F(x),为,X,的分布函数，,这是直线上的几何概型问题，,随机点落在 的任一子区间,上的概率为,故,当 时，,解,当,时，,例,8,设随机变量的分布律为,求,的分布函数。,满足,的的集合为,X,当时，满足的的取值为,则,当时，满足的的取值为,-1 0 1 2 3,x,当时，,即,图形,X,p,k,-1 2 3,跃，,其跳跃值为,分布函数在处有跳,备用题,设与分别为随机变量与的分,（,1998,）,布函数，,变量的分布函数，,应取（）。,为使是某一随机,在下列给定的各组数值中,解由分布函数的性质，有,而选项中只有满足此条件，,选,注意,：确定分布函数中的未知数，一般用,及分布函数的,右连续性,.,所以,练习题,F(x) = P,(,X,x,),故,作业,.,习题二,4,2.1,离散型随机变量及其分布律,2,离散型随机变量及其分布函数,2.2,几种重要的离散型随机变量,及其分布律,2.1,离散型随机变量及其分布律,说明,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,图示法,试求常数,解,由随机变量分布律的性质，,所以,例,1,设随机变量的分布律为,得,例,2,甲、乙、丙三人,独立射击,同一目标,.,已知三人击中目标的概率依次为,0.8,，,0.6,，,0.5,，,用,X,表示击中目标的,人数,，求,X,的,分布律,以及,分布函数,.,解,依题意,X,可取值,0, 1, 2, 3.,设,A,i,分别表示,“,甲,、,乙,、,丙击中目标,”,（,i=1,2,3,）,则,A,1,、,A,2,、,A,3,相互独立，且,所以,即,X,的分布律为,进而,X,的分布函数为,X,的分布函数的图形为,分布函数,分布律,离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,？,离散型随机变量可完全由其分布律来刻划,即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及,取这些值的概率,唯一确定,2.2,几种重要的离散型随机变量及其分布律,设随机变量,X,只可能取,0,与,1,两个值,它的分布律为,2.,两点分布,(0-1,分布）,1.,退化分布,若随机变量,X,取常数值,C,的概率为,1,即,则称,X,服从,退化分布,.,实例,1,“,抛硬币”试验,观察正、反两面情况,.,随机变量,X,服从,(0-1),分布,.,其分布律为,则称,X,服从,(0-1),分布,或,两点分布,.,记为,XB,(1,p,),两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布,.,说明,3.,等可能分布,如果随机变量,X,的分布律为,实例,抛掷骰子并记出现的点数为随机变量,X,则有,4.,二项分布,二项分布,两点分布,如果随机变量的分布律为,则称随机变量服从参数为的二项分布,记为,其中,二项,分布的概率背景,则,设在每次试验中,生的次数,.,进行重,B,ernoulli,试验，,令 ：在这次,Bernoulli,试验中事件发,二项分布的图形,例,1,在相同条件下相互独立地进行,5,次射击,每次射击时击中目标的概率为,0.6 ,则击中目标的次数,X,服从,B,(5,0.6),的二项分布,.,分析,例,2,这是不放回抽样,.,但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理,.,解,图示概率分布,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为,0.0001,在每天的该段时间内有,1000,辆汽车通过,问出事故的次数不小于,2,的概率是多少,?,设,1000,辆车通过,出事故的次数为,X,则,解,例,4,故所求概率为,二项分布,泊松分布,4.,泊松分布,泊松分布的图形,泊松分布的背景,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察,与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他,们做了,2608,次观察,(,每次时间为,7.5,秒,),发现放射,性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数,X,服从泊松分布,.,地震,在生物学,、,医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学,、,医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,P,oisson,定理,设在,B,ernoulli,试验中，,代表事件在试验中发生的概率，,数有关。,则,以,它与试验总,若,二项分布,泊松分布,n,很大,p,很小,Poisson,定理的应用,令则有,设,1000,辆车通过,出事故的次数为,X,则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例,4,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率,为,0.0001,在每天的该段时间内有,1000,辆汽车通,过,问出事故的次数不小于,2,的概率是多少,?,例,5,设每次射击命中目标的概率为,用,P,oisson,分布近似计算,0.01,，,概率（用,P,oisson,分布近似计算）。,(,练习,),现射击,700,次，,求,至少命中,3,次目标,的,进行,700,次射击可看作是一,600,重,Bernoulli,试验,：,700,次射击命中目标的次数,解,设,= 700,次射击至少命中,3,次目标,所以,5.,几何分布,若随机变量,X,的分布律为,则称,X,服从,几何分布,.,实例,设某批产品的次品率为,p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止,(,在此之前抽到的全是正品,),那么所抽到的产品数目,X,是一个随机变量,求,X,的分布律,.,说明,描述某个试验 “,首次成功,”的概率模型,.,6.,超几何分布,设,X,的分布律为,注：,1,、,一批产品,N,个，其中,M,个次品，即次品率,p=M/N,进行不放回抽样，连续抽取,n,次,次品数服从超几何分布,2,、,如果放回抽样，连续抽取,n,次，则次品数服从二项分布,B (n,p).,3,、,当一批产品的总数,N,很大，而抽取样品的个数,n,远远小于,N,，则放回抽样与不放回抽样实际上没有多大的差别,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,泊松分布,两点分布,三、小结,超几何分布,退化分布,例,1,从一批含有,10,件正品及,3,件次品的产品中一,件、一件地取产品,.,设每次抽取时,所面对的各件,产品被抽到的可能性相等,.,在下列三种情形下,分,别求出直到取得正品为止所需次数,X,的分布律,.,(1),每次取出的产品经检定后又放回,这批产品中去在取下一件产品,;(2),每,次取出的产品都不放回这批产品中,;,(3),每次取出一件产品后总以一件正,品放回这批产品中,.,附加题,故,X,的分布律为,解,(1),X,所取的可能值是,(2),若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故,X,的分布律为,X,所取的可能值是,(3),每次取出一件产品后总以一件正品放回这批,产品中,.,故,X,的分布律为,X,所取的可能值是,例,3,(,人寿保险问题,),在保险公司里 有,2500,个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为,0.002,每个参加保险的人在,1,月,1,日付,12,元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取,2000,元,.,问,(1),保险公司亏本的概率是多少,?,(2),保险公司获利不少于一万元的概率是多少,?,保险公司在,1,月,1,日的收入是,2500,12=30000,元,解,设,X,表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出,2000,X,元,.,假定,2000,X,30000,即,X,15,人时公司亏本,.,于是,P,公司亏本,=,P,X,15=1-,P,X3 .,因而有,设,Y,表示,3,次独立观测中观测值大于,3,的次数,则,2,指数分布（,E,xponential,D,istribution,）,概率密度的验证,设随机变量服从参数为的指数分布，,（,2,）,（,1,）对任意的，有,由此可知,是一概率密度。,是其密度函数，,则,某些元件或设备的寿命服从指数分布,.,例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布,.,应用与背景,分布函数,刚好在你之前走进公用电话亭，,例,4,设打一次电话所用的时间 （单位：,解,的概率密度为,分）服从参数为的指数分布。,求你等待,若某人,分钟的概率。,则,令,=,等待时间为,1020,分钟,例,5,设某类日光灯管的使用寿命,X,服从参数为,=1/2000,的指数分布,(,单位,:,小时,),(1),任取一只这种灯管,求能正常使用,1000,小时以,上的概率,.,(2),有一只这种灯管已经正常使用了,1000,小时以,上,求还能使用,1000,小时以上的概率,.,X,的分布函数为,解,指数分布的重要性质,:“,无记忆性,”,.,3.3,正态分布,(,或高斯分布,),正态概率密度函数的几何特征,正态分布的分布函数,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如,测量误差,;,人的生理特征尺寸如身高、体重等,;,正常情况下生产的产品尺寸,:,直径、长度、重量,高度等都近似服从正态分布,;,学生的考试成绩等,.,正态分布的应用与背景,可以证明，,的影响，,如果一个随机指标受到诸多因素,但其中任何一个因素都不起决定性作用，,则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。,正态分布可以作为许多分布的近似分布。,许多分布所不具备的。,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它,正态分布下的概率计算,原函数不是,初等函数,方法,:,转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,2.,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,解,例,6,当 时，查表得,若要求 时的概率，可利用上述公式。,由分布函数的定义及标准正态分布图形的对称性可知,即,例,7,设,试求,解,（,1,）,（,2,）,一般正态分布的计算,引理,若,则,证,令,代入上式得,所以,由此得,其中 是标准正态分布的分布函数。,对任意的常数，若,例,8,设 ，试求,解,（,1,）,（,2,）,（,3,）,解,P,(,X h,)0.01,或,P,(,X,h,),0.99,，,下面我们来求满足上式的最小的,h,.,看一个应用正态分布的例子,:,例,9,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的,.,设男子身高,X,N,(170,6,2,),问车门高度应如何确定,?,设车门高度为,h,cm,按设计要求,因为,X,N,(170,6,2,),故,P,(,X,h,)=,因而,= 2.33,即,h,=170+13.98 184,设计车门高度为,184,厘米时，可使,男子与车门碰头,机会不超过,0.01.,P(,X,0.99,标准正态分布的上 分位点,设,若数 满足条件,则称点 为,标准正态分布的,上 分位点,.,由 ，,利用附表,3,可查得,分布函数,三、小结,2.,常见连续型随机变量的分布,均匀分布,正态分布,(,或高斯分布,),指数分布,作业,:,习题二,12,16,17(2,3),19,Born:,30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany),Died:,23 Feb 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany),Carl Friedrich Gauss,Gauss,4.1,离散型随机变量函数的分布律,4.2,连续型随机变量函数的概率密度,4,随机变量函数的概率分布,在实际问题中往往需要讨论随机变量的函数的变化规律,.,例如某影剧院每次演出所售出的门票数是一个随机变量,而票房收入就是售出门票数的函数,也是随机变化的,;,本节就是要研究这类随机变量的分布问题,问题,定义,4.1,离散型随机变量函数的分布律,Y,的可能值为,即,0, 1, 4.,解,例,1,故,Y,的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法,.,离散型随机变量的函数的分布,Y,的分布律为,例,2,设,解,4.2,连续型随机变量函数的概率密度,设是一连续型随机变量，,设是的函数，,续型的随机变量。,要求的概率密度,其概率密度为,假设也是连,解题思路,（,1,）先求 的分布函数,（,2,）利用的分布函数与概率密度之,间的关系，,求的概率密度。,试求,的概率密度,。,解,(1),先求的分布函数,例,3,设随机变量 具有,概率密度,（,2,）利用得,整理得,的概率密度为,注,:,也可以先把分布函数求出来,求,的概率密度。,(,练习,),解,(1),先求,的分布函数,1.,由于,例,4,设随机变量,具有,概率密度,故当时，,2 .,当时，,所以,则,的概率密度为,称服从,自由度为,1,的分布。,(,在统计中,有重要应用,),例如,设,其概率密度为,又设函数处处可导，,（或），,连续型随机变量,，,其中,是,的反函数,，,且,定理,【1】,设随机变量,具有概率密度,则,是,一个,其概率密度为,即,例,7,设随机变量，,的线性函数也服从正态分布。,又因为,的反函数为,且,试证明：,证,的概率密度为,满足定理条件,由定理的结论得,即,证毕,.,三、小结,1.,离散型随机变量的函数的分布,2.,连续型随机变量的函数的分布,方法,1,方法,2,注意条件,.,作业,:,习题二,22,23,24,