向量组的线性相关性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 线性方程组解的结构,(1),n,个未知数的齐次线性方程组,Ax,=,0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩,R,(,A,),n,.,(2),n,个未知数的非齐次线性方程组,Ax,=,b,有解的充分必要条件为系数矩阵,A,与增广矩阵,B,=(,A,|,b,)的秩相等,且当,R,(,A,)=,R,(,B,)=,n,时有唯一解;当,R,(,A,)=,R,(,B,),n,时有无穷多解;,前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法,并建立了两个重要定理:,一、齐次线性方程组的解,设有齐次线性方程组,若记,则上述方程组可写成向量方程,Ax,=,0,.,若,x,1,=,11,x,2,=,21,x,n,=,n,1,为方程组,Ax,=,0,的解,则,称为方程组,Ax,=,0,的,解向量,.,(1)若,x,=,1,x,=,2,为,Ax,=,0的解,则,x,=,1,+,2,也是,Ax,=,0的解.,证明:,因为,A,1,=,0,A,2,=,0,所以,A,(,1,+,2,),=,A,1,+,A,2,=,0,故,x,=,1,+,2,也是,Ax,=,0的解.,(2)若,x,=,1,为,Ax,=,0的解,k,为数,则,x,=,k,1,也是,Ax,=,0的解.,证明:,因为,A,1,=,0,所以,A,(,k,1,),=,kA,1,=,k,0=,0,故,x,=,k,1,也是,Ax,=,0的解.,这两个性质表明,Ax,=,0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的,因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次方程组,Ax,=,0 的,解空间,.,二、基础解系及其求法,称向量组,1,2,t,为齐次线性方程组,Ax,=,0,的,基础解系,如果,(1),1,2,t,是,Ax,=,0,的解的一个最大无关组;,(2),Ax,=,0,的任一解都可由,1,2,t,线性表出.,如果向量组,1,2,t,为齐次线性方程组,Ax,=,0的一组基础解系,那么,Ax,=,0的通解可表示为:,x,=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,t,t,其中,k,1,k,2,k,t,为任意常数.,设齐次线性方程组,Ax,=0的系数矩阵,A,的前,r,个列向量线性无关,于是,A,可化为:,即有方程组,(1),现对(,x,r,+1,x,n,),T,取下列,n,r,组数(向量):,分别代入方程组(1)依次得:,从而求得原方程组的,n,r,个解:,定理,1:,当,n,元齐次线性方程组,A,m,n,x,=,0的系数矩阵的秩,R,(,A,)=,r,时,解集,S,的秩为,n,r,.,依据以上的讨论，还可推得,当,R,(,A,)=,n,时,方程组,Ax,=0,只有零解,故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间).,当,R,(,A,)=,r,n,时,方程组,Ax,=0,必有含,n,r,个向量的基础解系,1,2,n,-,r,.因此由最大无关组的性质可知，,方程组,Ax,=0的任何,n,r,个线性无关的解都可构成它的基础解系.并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的.,例1:,求齐次线性方程组,的基础解系与通解.,有,解:,对系数矩阵,A,作初等行变换,变为行最简矩阵,得,即得基础解系:,并由此得通解:,例2:,设,A,m,n,B,n,l,=,O,m,l,证明,R,(,A,)+,R,(,B,),n,.,证明:,设,B,=(,b,1,b,2,b,l,),则,AB,=,A,(,b,1,b,2,b,l,)=(0,0,0,)=,O,m,l,即,Ab,i,=0 (,i,=1,2,l,),也就是说,B,的每个一列向量都是以,A,为系数矩阵的齐次线性方程组,Ax,=0的解向量.,R,(,B,)=,R,(,b,1,b,2,b,l,),n,R,(,A,).,R,(,A,)+,R,(,B,),n,.,性质知:方程组,Ax,=0的解向量组的秩为,n,R,(,A,),由齐次线性方程组解的,因此,故,三、非齐次线性方程组的解,证明:,因为,A,1,=,b,A,2,=,b,(1)设,x,=,1,及,x,=,2,都是方程组,Ax,=,b,的解,则,x,=,1,2,为对应齐次方程组,Ax,=0的解.,所以,A,(,1,2,),=,A,1,A,2,=,b,b,=,0.,故,x,=,1,2,为对应齐次方程组,Ax,=0的解.,(2)设,x,=,是方程组,Ax,=,b,的解,x,=,是方程组,Ax,=0,的解,则,x,=,+,仍,为方程组,Ax,=,b,的解.,证明:,因为,A,=,b,A,=0,所以,A,(,+,),=,A,+,A,=0,+,b,=,b,.,故,x,=,+,为方程组,Ax,=,b,的解.,其中,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,-,r,n,-,r,为对应齐次线性方程组,Ax,=0的通解,*,为非齐次线性方程组,Ax,=,b,的任意一个特解.,非齐次线性方程组,Ax,=,b,的通解为:,x,=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,n,-,r,n,-,r,+,*.,例4:,求解方程组,解,:,对增广矩阵,B,施行初等行变换:,可见,R,(,A,)=,R,(,B,)=2,故方程组有解,并有,取,x,2,=,x,4,=,0,则,x,1,=,x,3,=,即得方程组的一个解,取,即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:,于是所求通解为:,在对应的齐次线性方程组,中,一、向量空间的概念,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,第五节 向量空间,定义1,设 为 维向量的集合，如果集合 非空，,且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称,集合 为向量空间,.,3,3,是一个向量空间,维向量的全体,R,例1,例2,判别下列集合是否为向量空间.,解,例3,判别下列集合是否为向量空间.,解,维向量，集合,为两个已知的,设,n,b,a,例4,试判断集合是否为向量空间.,一般地，,为,.,2,1,2,1,2,2,1,1,2,2,1,2,2,1,1,1,1,1,V,V,R,b,b,b,x,V,R,a,a,a,x,V,b,b,a,a,s,s,s,m,m,m,s,m,=,+,+,+,=,=,+,+,+,=,=,试证：,记,等价，,与向量组,设向量组,m,m,m,m,m,m,l,l,l,l,l,l,L,L,L,L,L,L,例5,那末，向量组 就称为向量的一个,基,，,称为向量空间 的维数,，,并称 为,维向量,空间,三、向量空间的基与维数,定义2,设 是向量空间，如果 个向量,，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一,个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基,就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的,秩.,设矩阵,例6,