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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、三重积分的概念,二、重积分的计算,三、三重积分的换元,四、简单应用,三重积分,1,一、三重积分的概念,设三元函数 在有界闭体,V,有定义，,用分法,T,将,V,分成,n,个小体,设它们的体积分别是,在小体,上任取一点,作和,称为函数 在体,V,的积分和。,令,2,若当 时，三元函数 在,V,的积分和存在极限,J(,数,J,与分法,T,无关，也与,点 的取法无关,),，即,则称函数 在体,V,可积，,J,是函数,在体,V,的,三重积分,，记为,或,3,其中,V,称为,积分区域,，称为,被积函,数,dV,或,dxdydz,称为,体积微元,。,三重积分的几何意义,设被积函数,则区域,V,的体积为,设有界体 上每一点的密度是,则 的质量为,4,二、三重积分的计算,1.,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,设积分区域,V,为,5,如 图，,过点,闭区域,V,在,xoy,平面的投影为闭区域,D.,6,再,计算,得,则,注,相交不多两点情形,.,7,表示当 固定时,对,积分,的变化由 到,其次,当 固定时,对 积分,.,即,8,最后对 积分,的变化从 到,.,即,的变化从 到,.,9,x,0,z,y,z=z,2,(,x,y,),I,=,P,D,z=z,1,(,x,y,),这就化为一个,定积分和一个,二重积分的运算,10,例,1,计算平面 与,所围成的四面体的体积,.,例,2,计算三重积分,，,上半椭球体：,其中是,11,z,=0,y,=0,x,=0,0,y,x,V,：,平面,x,=0,y,=0,z,=0,，,x+,2,y+z,=1,所围成的区域,x,0,z,y,1,1,D,xy,D,xy,:,x,=0,y,=0,x+,2,y,=1,围成,1,例,3,计算三重积分,x,+2,y,+,z,=1,D,xy,I,=,解,12,2.,截面法,(,红色部分,),(1),投影,得,投影区间,(2),(3),计算二重积分,(4),最后计算单积分,即,13,D,z,.,b,c,=,例,4,计算,x,0,y,z,D,0,a,z,14,三,.,三重积分换元法,定,理,若三元函数 在有界闭体 连续,则三重积分 存在,.,设函数组,在 空间有界闭体 有定义,.,若满足,下列条件,:,15,1),函数,所有的偏导数在 连续,;,2),16,则有三重积分的换元公式,3),函数组,(1),将 空间中的 一一对,应地变换为 空间中的,.,17,例,5,计算六个平面,所围成的平行六面体,V,的体积，其中,是常数，且,18,例,6,计算,其中,是由曲面,所围成的区域,.,解,作变换,19,而,由公式,20,已知椭球,V:,内点,(,x,y,z,),处质量的体密度为:求,椭球的,质量.,练习,21,
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