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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的最大值与最小值,一、复习与引入,1.当函数f(x)在x,0,处连续时,判别f(x,0,)是极大(小)值的方,法是:,如果在x,0,附近的左侧 右侧 ,那么,f(x,0,),是极大值;,如果在x,0,附近的左侧 右侧 ,那么,f(x,0,),是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充,分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点,取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,二、新课函数的最值,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x,1,)、f(x,3,),f(x,2,),f(b),f(x,3,),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x,3,)是最小值，而f(b)是最大值呢？,导数的应用-求函数最值.,(2)将,y=f(x),的各极值与,f(a)、f(b)(,端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,求,f(x),在,闭区间,a,b,上的最值的步骤,(1)求,f(x),在区间(,a,b,)内极值(极大值或极小值),求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).,三、例题选讲,例1:求函数y=x,4,-2x,2,+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时,的变化情况如下表:,x,-2,(-2,-1),-1,(-1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,y,-,0,+,0,-,0,+,y,13,4,5,4,13,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,例2、,函数,y,=,x,+3,x,9,x,在 4,4,上的最大值为,最小值为,.,分析:,(1)由,f,(,x,)=3,x,+6,x,9=0,(2)区间4,4,端点处的函数值为,f,(4)=20,f,(4)=76,得,x,1,=3，,x,2,=1,函数值为,f,(3)=27,f,(1)=5,当x变化时，y、y的变化情况如下表：,x,-4,(-4,-3),-3,(-3,1),1,(1,4),4,y,+,0,-,0,+,0,y,20,27,-,5,76,比较以上各函数值，,可知函数在4,4,上的最大值为,f,(4)=76，,最小值为,f,(1)=5,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值,:,练习:,最大值,f,(1)=3，最小值,f,(3)=61,（04浙江文,21,）（本题满分,12,分）,已知,a,为实数，,（）求导数 ；,（）若 ，求 在,-2,，,2,上的最大值和最小值；,（）若 在（,-,，,-2,和,2,，,+,）上都是递增的，求,a,的取值范围。,例3,五、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的,最值的步骤:,(1)求f(x)在(a,b)内的极值;,(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个,是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未,必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不,要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值,和f(a)、f(b)放在一起比较.,
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