(精品)3-1系统的时域分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点,连续时间,LTI,系统的响应,连续时间系统的冲激响应,卷积积分及其性质,离散时间,LTI,系统的响应,离散时间系统的单位脉冲响应,卷积和及其性质,冲激响应表示的系统特性,1,系统分析主要两项任务,:,1,用数学语言描述待分析系统,建立系统数学模型,;2,分析信号通过系统产生的响应,.,线性时不变系统,连续时间系统的数学描述,(,微分方程,),2,3,4,*,例,2,如图所示机械位移系统，质量为,m,的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为,f,，弹簧拉力,F,k,，运动物体的惯性力,F,m,，摩擦力,F,f,(,t,),，,外加牵引力为,F,s,(,t,),，求,F,s,(,t,),与刚体运动速度,v,(,t,),间的关系。,解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限,度内，拉力,F,k,与位移,x,成正比。,设刚度系数为,k,，有,刚体在光滑表面滑动，摩擦力,F,f,(,t,),与速度,v,(,t,),成正比。,机械位移系统,5,运动物体的惯性力由牛顿第二定律决定：,化简得：,机械位移系统,此为机械位移系统的微分方程。,整个系统力的平衡由达朗贝尔原理确定：,6,连续时间系统,用,N,阶常系数微分方程,描述,线性时不变系统,的描述,a,i,、,b,j,为常数。,7,8,后向差分方程与前向差分方程并无本质差别，,都可以描述离散时间线性系统。,9,离散时间系统,用,N,阶常系数差分方程,描述,a,i,、,b,j,为常数。,10,该模拟电路的动态方程是一阶微分方程，,如果输入信号是典型信号或可以用解析式表示，则求解比较容易。,若输入为不规则信号或无法用解析式表示时，则只好借助数值计算方法来解决。,当所取的时间间隔,T,较小时，可以用信号的差分近似信号的微分，即,11,12,线性时不变系统,的描述及特点,连续时间系统,用,N,阶常系数微分方程,描述,a,i,、,b,j,为常数。,离散时间系统,用,N,阶常系数差分方程,描述,a,i,、,b,j,为常数。,线性时不变系统,(,LTI,),的描述,13,线性时不变系统,的描述及特点,线性时不变系统,的特点,LTI,系统,除具有,线性特性,和,时不变特性,外，还具有,:,1,）微分特性与差分特性：,若,T,f,(,t,)=,y,(,t,),则,若,T,f,k,=,y,k,则,T,f,k,-,f,k,-1,=,y,k,-,y,k,-1,2,）积分特性与求和特性：,若,T,f,(,t,)=,y,(,t,),则,若,T,f,k,=,y,k,则,14,例,已知,LTI,系统在,f,1,(,t,),激励下产生的响应为,y,1,(,t,),，试求系统在,f,2,(,t,),激励下产生的响应,y,2,(,t,),。,解：,从,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),图形可以看得出，,f,2,(,t,),与,f,1,(,t,),存在以下关系,根据,线性时不变,性质，,y,2,(,t,),与,y,1,(,t,),之间也,存在同样的关系,15,连续时间,LTI,系统,的响应,经典时域分析方法,卷积法,零输入响应求解,零状态响应求解,16,连续时间,LTI,系统,的响应,1.,经典时域分析方法,:,求解微分方程,2.,卷积法,:,系统完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,求解齐次微分方程得到,零输入响应,利用卷积积分可求出,零状态响应,17,一、经典时域分析方法,微分方程的全解即系统的完全响应,由,齐次解,y,h,(,t,),和,特解,y,p,(,t,),组成,齐次解,y,h,(,t,),的形式由齐次方程的特征根确定,特解,y,p,(,t,),的形式由方程右边激励信号的形式确定,18,一、经典时域分析方法,19,一、经典时域分析方法,齐次解,y,h,(,t,),的形式,(1),特征根是不等实根,s,1,s,2,s,n,(2),特征根是等实根,s,1,=,s,2,=,=,s,n,=,s,(3),特征根是成对共轭复根,20,一、经典时域分析方法,常用激励信号对应的,特解,形式,输入信号,特解,K,A,Kt,A,+,B,t,K,e,-,at,(,特征根,s,-,a,),A,e,-,at,K,e,-,at,(,特征根,s,=,-,a,),At,e,-,at,K,sin,w,0,t,或,K,cos,w,0,t,A,sin,w,0,t,+,B,cos,w,0,t,K,e,-,at,sin,w,0,t,或,K,e,-,at,cos,w,0,t,A,e,-,at,sin,w,0,t,+,B,e,-,at,cos,w,0,t,21,例,2,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件,y,(0)=1,y,(0)=2,输入信号,f,(,t,)=,e,-,t,u,(,t,),，,求系统的完全响应,y,(,t,),。,特征根,为,齐次解,y,h,(,t,),解,:,(1),求,齐次方程,y,(,t,)+6,y,(,t,)+8,y,(,t,)=0,的,齐次解,y,h,(,t,),特征方程,为,22,例,2,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件,y,(0)=1,y,(0)=2,输入信号,f,(,t,)=,e,-,t,u,(,t,),，,求系统的完全响应,y,(,t,),。,解,:,(2),求,非,齐次方程,y,(,t,)+6,y,(,t,)+8,y,(,t,)=,f,(,t,),的,特解,y,p,(,t,),由,输入,f,(,t,),的形式，设方程的,特解,为,y,p,(,t,)=,C,e,-,t,将,特解,带入原微分方程即可求得常数,C,=1/3,。,23,例,2,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件,y,(0)=1,y,(0)=2,输入信号,f,(,t,)=,e,-,t,u,(,t,),，,求系统的完全响应,y,(,t,),。,解,:,(3),求方程,的全解,解得,A,=5/2,，,B,=,-,11/6,24,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。,若激励信号发生变化，则须全部重新求解。,若初始条件发生变化，则须全部重新求解。,这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响,应的物理概念。,25,1,),若,初始条件,不变，,输入信号,f,(,t,)=sin,t,u,(,t,),，则系统的完全响应,y,(,t,)=,？,2,),若,输入信号,不变，,初始条件,y,(0)=0,y,(0)=1,则系统的完全响应,y,(,t,)=,？,讨论,26,二、卷积法,系统完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,1,.,系统的零输入响应,是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型,:,求解方法：,根据,微分方程,的,特征根,确定,零输入响应,的形式,再由,初始条件,确定待定系数。,27,解,:,系统的,特征方程,为,例,3,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,(,t,)+5,y,(,t,)+6,y,(,t,)=4,f,(,t,),t,0,系统的初始状态为,y,(0,-,)=1,，,y,(0,-,)=3,，,求系统的,零输入响应,y,x,(,t,),。,系统的,特征根,为,y,(0,-,)=,y,x,(0,-,)=,K,1,+,K,2,=1,y,(0,-,)=,y,x,(0,-,)=,-,2,K,1,-,3,K,2,=3,解得,K,1,=6,，,K,2,=,-,5,28,例,4,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为,:,y,(,t,)+4,y,(,t,)+4,y,(,t,)=2,f,(,t,)+3,f,(,t,),t,0,系统的初始状态为,y,(0,-,)=2,，,y,(0,-,)=,-,1,，求系统的,零输入响应,y,x,(,t,),。,解,:,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,（两相等实根）,y,(0,-,)=,y,x,(0,-,)=,K,1,=1;,y,(0,-,)=,y,x,(0,-,)=,-,2,K,1,+,K,2,=3,解得,K,1,=2,K,2,=3,29,例,5,已知某,线性时不变系统,的动态方程式为：,y,(,t,)+2,y,(,t,)+5,y,(,t,)=4,f,(,t,)+3,f,(,t,),t,0,系统的初始状态为,y,(0,-,)=1,，,y,(0,-,)=3,，求系统的,零输入响应,y,x,(,t,),。,解,:,系统的,特征方程,为,系统的,特征根,为,y,(0,-,)=,y,x,(0,-,)=,K,1,=1,y,(0,-,)=,y,x,(0,-,)=,-,K,1,+2,K,2,=3,解得,K,1,=1,，,K,2,=2,30,二、卷积法,系统完全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,求解,系统的零状态响应,y,f,(,t,),方法：,1),直接求解,初始状态为零的微分方程。,2),卷积法：,利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励,f,(,t,),产生的响应称为,系统的零状态响应,，用,y,f,(,t,),表示。,2,.,系统的零状态响应,31,卷积法,求解,系统零状态响应,y,f,(,t,),的思路,1,),将任意信号分解为,单位冲激信号,的线性组合,2,),求出,单位冲激信号,作用在系统上的响应,冲激响应,3,),利用,线性时不变系统,的特性，即可求出任意信号,f,(,t,),激励下系统的,零状态响应,y,f,(,t,),。,32,卷积法,求解,系统零状态响应,y,f,(,t,),推导,由,时不变特性,由,均匀特性,由,积分特性,(,冲激响应,),33,例,已知某,LTI,系统,的动态方程式为：,2,y,(,t,)+3,y,(,t,)=2,f,(,t,),系统的,冲激响应,h,(,t,)=e,-,3,t,u,(,t,),f,(,t,)=3,u,(,t,),试求,系统的零状态响应,y,f,(,t,),。,解：,34,