特征值与特征向量(高等代数课件)

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,7.4,特征值与特征向量,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,7.4,特征值与特征向量,2 线性变换的运算,3 线性变换的矩阵,4 特征值与特征向量,1 线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8 若当标准形简介,9 最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章 线性变换,5 对角矩阵,一、特征值与特征向量,二、特征值与特征向量的求法,7.4 特征值与特征向量,三、特征子空间,四、特征多项式的有关性质,7.4 特征值与特征向量,从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当,的基，使,V,的某个线性变换在这组基下的矩阵就是,一个对角矩阵,?,引入,有限维线性空间,V,中取定一组基后，,V,的任一线性,希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.,变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，,7.4 特征值与特征向量,设是数域,P,上线性空间,V,的一个线性变换，,则称,为 的一个,特征值,，称为的属于特征值,一、特征值与特征向量,定义：,若对于,P,中的一个数存在一个,V,的非零向量,使得,的,特征向量,.,7.4 特征值与特征向量,几何意义：特征向量经线性变换后方向保持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，,注：,相同 或相反,时,若 是,的属于特征值的特征向量，则,也是 的属于的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即,若且，则,7.4 特征值与特征向量,设 是,V,的一组基，,线性变换在这组基下的矩阵为,A.,下的坐标记为,二、特征值与特征向量的求法,分析：,设是的特征值，它的一个特征向量在基,则 在基下的坐标为,7.4 特征值与特征向量,而 的坐标是,于是,又,从而,又,即 是线性方程组 的解，,有非零解.,所以它的系数行列式,7.4 特征值与特征向量,以上分析说明：,若是的特征值，则,反之，若满足,则齐次线性方程组有非零解.,若是一个非零解，,特征向量.,则向量就是的属于的一个,7.4 特征值与特征向量,设 是一个文字，矩阵称为,称为,A,的,特征多项式,.,1.特征多项式的定义,A,的,特征矩阵,，它的行列式,（是数域,P,上的一个,n,次多项式）,7.4 特征值与特征向量,矩阵,A的特征多项式的根有时也称,为,A,的特征值,注：,若矩阵,A是线性变换关于V的一组基的矩阵,，,而是的一个特征值，则是特征多项式,的根，即,的一个特征值.,反之，若是,A,的特征多项式的根，则就是,（所以，特征值也称,特征根,.）,而相应的线性方程组 的非零解也就,称为,A,的属于这个特征值的特征向量,.,7.4 特征值与特征向量,i),在,V,中任取一组基 写出 在这组基下,就是的全部特征值.,ii),求,A,的特征多项式 在,P,上的全部根它们,2.求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵,A.,iii),把所求得的特征值逐个代入方程组,的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.),并求出它的一组基础解系,.(它们就是属于这个特征值,7.4 特征值与特征向量,则,就是属于这个特征值 的全部线性,无关的特征向量.,而,（其中，不全为零,）,就是的属于 的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为：,7.4 特征值与特征向量,对皆有,所以，,V,中任一非零向量皆为数乘变换,K,的特征向量.,例,1,.在线性空间,V,中，数乘变换,K,在任意一组基下,的矩阵都是数量矩阵,k,E,，它的特征多项式是,故数乘法变换,K,的特征值只有数,k,，且,7.4 特征值与特征向量,解：,A,的特征多项式,例,2,.,设线性变换在基,下的矩阵是,求特征值与特征向量.,故的特征值为：（二重）,7.4 特征值与特征向量,把 代入齐次方程组 得,即,它的一个基础解系为,：,因此，属于 的两个线性无关的特征向量为,而属于 的全部特征向量为,不全为零,7.4 特征值与特征向量,因此，属于,5,的一个线性无关的特征向量为,把 代入齐次方程组 得,解得它的一个基础解系为：,而属于,5,的全部特征向量为,7.4 特征值与特征向量,三、特征子空间,定义,：,再添上零向量所成的集合，即,设 为,n,维线性空间,V,的线性变换,，,为,的一个特征值，令 为的属于的全部特征向量,则 是V的一个子空间,称之为的一个,特征子空间,.,7.4 特征值与特征向量,注：,的解空间的维数，且由方程组,(,*,),得到的属于的,若在,n,维线性空间,V,的某组基下的矩阵为,A,，则,即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组,(,*,),全部线性无关的特征向量就是 的一组基.,7.4 特征值与特征向量,四、特征多项式的有关性质,1.,设 则,A,的特征多项式,由多项式根与系数的关系还可得,A,的,全体特征值的积,A,的全体特征值的和,称之为,A,的迹,记作,trA,.,7.4 特征值与特征向量,证:设 则存在可逆矩阵,X，,使得,2.(定理6),相似矩阵具有相同的特征多项式,.,于是，,7.4 特征值与特征向量,注：,有相同特征多项式的矩阵未必相似.,成是,矩阵,A,的特征值与特征向量,.,它们的特征多项式都是，但,A、B,不相似.,多项式,；而线性变换的特征值与特征向量有时也说,因此,矩阵,A,的特征多项式也说成是,线性变换的特征,由,定理,6,线性变换的特征值与基的选择无关.,如,7.4 特征值与特征向量,设 为,A,的特征多项式,则,证:,设 是 的伴随矩阵，则,3.,哈密尔顿凯莱,（HamiltonCaylay）,定理,都是,的多项式，且其次数不超过,n,1,.,又的元素是的各个代数余子式，它们,因此，可写成,零矩阵,7.4 特征值与特征向量,其中，都是 的数字矩阵.,再设,则，,而,比较、两式，得,7.4 特征值与特征向量,以依次右乘的第一式、第二式、,、第,n,式、第,n,1式，得,7.4 特征值与特征向量,把的,n,1个式子加起来，即得,4.,设为有限维线性空间V的线性变换，是,的特征多项式，则,零变换,7.4 特征值与特征向量,例3.,设求,解：,A,的特征多项式,用去除得,7.4 特征值与特征向量,7.4 特征值与特征向量,练习1,：,已知为,A,的一个特征值，则,（,1,）必有一个特征值为,;,（,2,）必有一个特征值为,;,（,3,）,A,可逆时，必有一个特征值为,;,（,4,）,A,可逆时，必有一个特征值为,.,（,5,）则 必有一个特征值为,.,7.4 特征值与特征向量,行列式,.,练习2,：,已知3阶方阵,A,的特征值为：1、1、2，,则矩阵的特征值为：,，,7.4 特征值与特征向量,