钢结构稳定理论

内蒙古科技大 学,钢 结 构 稳 定 理 论,第五章 框（刚）架体系的稳定,框架只承受作用于节点的竖向荷载，且按比例增加；,框架中所有杆件是同时失稳的，且只在框架平面内失稳；,框架中所有杆件均为等截面直杆；,框架中所有杆件均在弹性范围内工作；,忽略杆件自身轴向变形的影响。,5-1,刚架稳定分析的位移法,1,）基本假设,假定框架达到稳定临界状态时，要发生微小的失稳变形。,位移法的基本思路：,对体系施加无穷刚臂和侧向支座，使结构变成没有富余自由度的完全超静定结构。,结合结构力学中的位移法，如图所示体系的未知数个数,(,被人为约束的自由度个数,),为：,2,）位移法的正则方程组,4,P,5,P,6,P,8,1,P,2,P,3,P,7,转角：,1,6,，,6,个,侧移：,7,8,，,2,个,共,8,个,对临界状态的框架变形状态组成正则方程组。（由于所有节点上的外荷载在基本体系的附加约束中不引起任何反力，所以方程组是齐次的，如下：）,自由度,1,的平衡方程,自由度,2,的平衡方程,自由度,n,的平衡方程,正则方程组，常数项均为,0,3,）框架的屈曲方程,上式为,0,解时，,Z,1,Z,2,.Z,n,=0,，体系没有任何位移，框架没有失稳。,因此框架失稳的条件为位移未知数的系数行列式为,0,，即框架的屈曲方程为：,通过上述行列式为,0,，可以求解得到临界荷载,P,。,说明：,关键是确定这些系数的表达式,r,ij,；,r,ij,的物理意义是：当,j,自由度上有单位位移作用时，在被约束的自由度,i,上产生的反力；,此时由于轴向力的存在（对杆轴而言），,r,ij,不再为常数，而是杆件轴向力的函数。,这与结构力学中的内容不同，结构力学位移法中的此系数为常数,设框架中某压杆,AB,，在失稳前为状态（,a,），刚架失稳时为状态（,b,）。,5-2,受压杆件的转角位移方程,1,）转角位移方程的推导,注：剪力以,y,轴正向为正；弯矩以顺时针为正。,取任一长度,x,的隔离体，列挠曲线微分方程为：,其中：,同时令：,则有：,通解为：,由边界条件：,变形曲线方程为：,利用边界条件：,得转角位移方程为：,上式表明杆件端弯矩与转角位移和平动位移之间的关系。由此关系可以确定杆件产生单位位移时所需的端弯矩，即刚度系数,r,ij,。,工况,1,：,2,）受压杆件在各种单位位移下的反力计算,N,N,l,a,=1,a,b,M,a,所以可得在单位转角,a,=1,作用下，引起的反力为：,工况,2,：,a,=1,a,b,N,N,l,采用类似方法，可得各种边界条件下的反力，如下：,由单位转角引起的反力,=1,a,b,N,N,l,EI,Q,a,Q,b,M,a,=1,a,b,N,N,l,EI,M,a,=1,a,b,N,N,l,EI,Q,a,Q,b,M,a,M,b,=1,a,b,N,N,l,EI,M,a,M,b,由单位线位移引起的反力,=1,a,b,N,N,l,EI,M,a,M,a,=1,a,b,N,N,l,EI,M,a,M,b,M,a,横梁中单位转角的反力矩（无轴力）,a,b,l,EI,b,M,a,Q,b,M,a,a,=,1,Q,a,a,b,l,EI,b,M,a,M,a,a,=,1,M,b,a,b,l,EI,b,M,a,Q,b,M,a,a,=,1,Q,a,可以证明，有轴力的杆端力表达式中，当,N0,时，即,0,时，,M,a,无轴力时的,M,a,。,以上结果可以直接应用于刚架稳定分析的位移法中。,=1,a,b,N,N,l,EI,Q,a,Q,b,M,a,a,b,l,EI,b,M,a,Q,b,M,a,a,=,1,Q,a,=1,a,b,N,N,l,EI,Q,a,Q,b,M,a,可能存在的失稳模式,5-3,刚架稳定承载力计算方法,1,）单层铰接门式刚架（框架）,H,EI,b,P,P,EI,c,EI,c,l,有侧向支撑时,对称失稳,无侧向支撑时,反对称失稳,对称失稳（根据对称性简化成如下模型）,H,EI,b,P,Z=,1,EI,c,l/2,位移法方程组,反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）,H,EI,b,P,Z=,1,EI,c,l/2,由于,Z,1,与,相互关联，故只有,Z,1,一个未知数。,也通用存在对称和反对称失稳两种模式,2,）单层刚接门式刚架（框架）,对称失稳（根据对称性简化成如下模型）,H,EI,b,P,Z=,1,EI,c,l/2,反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）,H,EI,b,P,Z=,1,EI,c,l/2,3,）刚架计算长度系数的确定,由前面介绍的屈曲方程可以求得在一定梁柱线刚度比,i,b,/,i,c,情况下的,值。,计算长度系数,梁柱线刚度比,所以给出不同梁柱线刚度比,k,1,=,i,b,/,i,c,值，即可求出不同的,值，因此可以构造出各种情况下的计算长度系数表格（规范中）。,铰接,刚接,4,）多层多跨刚架的弹性屈曲荷载,无侧移框架,有侧移框架,基本假设：,刚架中的所有杆件同时屈曲；,屈曲时节点处产生的梁端不平衡力矩按节点处柱线刚度成比例地分配给各柱；,不计横梁中轴力的影响；,对称失稳时：同一层的各横梁两端的转角大小相等，但方向相反；侧移失稳时：转角大小不但相等，而且方向相同。,回顾转角位移方程：,求解得到,M,a,和,M,b,：,其中：,C,是对应于近段转角的抗弯刚度系数；,S,是对应于远端转角的；,S/C,为弯矩传递系数。,C,、,S,、,C/S,随 的变化关系如下：,C,、,S,的定义域为（,0,，,2,）。,随着,P/P,E,的增加，近端转角的抗弯刚度系数,C,降低，而远端,S,提高。,轴向压力为,0,时，,C,4,，,S,2,，,S/C,0.5,，相当于受弯构件，图中虚线所示。,无侧移失稳时：,利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与,A,点有关的梁端和柱端力矩。,建立,A,点的平衡方程：,将各端弯矩代入得：,令 表示,AB,柱上端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。它反映了梁对柱的约束刚度。,则上式为,同理，对于,AB,柱的下端,B,点也有如下关系：,其中：,则刚架的屈曲方程为：,把,C,、,S,的三角函数代入，并令 ，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：,此方程即为钢结构设计规范附录中无侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。,计算长度系数也可通过下面计算公式计算：,也可使用下面图形曲线得到计算长度系数：,侧移失稳时：,利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与,A,点有关的梁端和柱端力矩。其中侧移角,建立,A,点的平衡方程：,将各端弯矩代入得：,令 表示,AB,柱上端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。,则上式为,同理，对于,AB,柱的下端,B,点也有如下关系：,上述两个方程，三个未知数，还需一个方程。,再建立柱本身的平衡方程：,而,这样平衡方程可以写成：,此时由三个方程构成一个关于,AB,杆两端转角,A,、,B,和相对位移,的方程组。方程组有解时，其系数行列式为,0,。,把,C,、,S,的三角函数代入，并令 ，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：,此方程即为钢结构设计规范附录中侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。,也可以使用实用公式：,刚架整体的,P-,效应（二阶效应）,5-4,有侧移刚架的弹性极限荷载,刚架在竖向和水平荷载的共同作用下，柱顶产生侧移,，则此时竖向荷载将对刚架产生一个附加的外弯矩,P,，将继续增大侧移，降低弹性刚度，这种现象称之为,P-,效应，或二阶效应。,对刚架稳定有一定影响，特别是对高层结构不可忽略。,对于整体刚架，外力与柱端反力的平衡条件为：,柱的侧移角为,，侧移为,l,c,，,则左柱与右柱的力平衡方程为：,将上两式相加，并代入前面的柱端反力，得：,端弯矩可以使用上节的转角位移方程得到，并代入得：,(1),(,),由,B,点、,C,点的力矩平衡，可分别得到：,(2),(3),由,(1)(2)(3),式可以解得转角,A,、,B,和侧移角,：,上式即为刚架二阶弹性分析的荷载,P,与侧移角,的关系式，同时考虑了,P-,效应和,P-,效应。,C,、,S,中体现了,P-,效应的影响，上式分母中最后一项体现了,P-,效应的影响。,(a),如果忽略柱轴力,P,对抗弯刚度的影响，取,C,4,，,S,2,，（即忽略,P-,效应），且梁柱线刚度比,K,1,1.0,，则二阶弹性分析（只考虑,P-,效应）的近似公式为：,(b),如果只考虑一阶弹性分析，像结构力学位移法求解内力那样，（令公式中的柱轴力,P,0,），可得此时荷载,P,与侧移角,的关系：,此时的侧移角完全由水平力,P,引起。,(c),当,0,时，由,(1)(2)(3),三式的系数行列式为,0,，也可得有侧移刚架的分岔屈曲荷载为：,将,(a)(b)(c)(d),四个临界荷载与侧移角的关系式画成曲线形式。,(a),二阶分析，考虑,P-,、,P-,效应；,(b),二阶分析，只考虑,P-,效应；,(c),一阶弹性分析；,(d),小挠度理论的分岔荷载；,(d),(a),(b),(c),(d),可见二阶效应影响显著，有侧移刚架中是不能忽略的。,弹塑性分析时极限荷载可能远远低于弹性分析。,如图所示多层刚架，承受水平荷载,H,和竖向荷载,q,。,一阶分析时，可以分为两个过程计算，并将两个过程中的各杆弯矩相叠加：,b,是,braced frame,的缩写；,s,是,side sway,的缩写；,5-5,有侧移刚架,二阶弹性分析近似解,二阶分析的近似解就是利用一阶分析结果，对,M,s,乘以放大系数,2i,：,下面来研究,2i,的取值。如图所示悬臂柱的二阶弯矩为：,把,tgu,级数展开：,于是得：,所以悬臂柱的二阶弯矩为,对于悬臂柱：,所以利用上述二式相等，得：,对于多层多跨框架时，可用,N,代替,P,，,H,代替,H,，则得到钢结构设计规范中的公式：,N,所计算楼层各柱轴心压力之和；,H,产生层间侧移,u,的所计算楼层及以上各层水平力之和；,u,按一阶弹性分析求得的所计算楼层的层间侧移；,h,所计算楼层的高度；,假想水平力：,notional force,用假想水平力考虑实际框架中必然存在的初始缺陷：如柱子的初倾斜、初弯曲、残余应力和塑性变形等。,现假设柱子有初倾斜,0,，则柱底产生附加弯矩,Q,0,，这相当于柱顶有一假想水平力,H,n,，如图所示。,5-6,规范中假想水平力,H,ni,及内力计算,为一百分数，各国规范取值不一。,我国新规范在分析各种情况后，考虑,n,与框架的层数和钢材的屈服点大小的关系，并参照国外规范，取：,其中：,y,为钢材强度影响系数，对,Q235,取,1.0,；,Q345,取,1.1,；,Q390,取,1.2,；,Q420,取,1.25,；,n,s,为框架总层数。,因而得第,i,层柱顶的假想水平力为：,我国新规范的二阶分析假想水平力取值较有些国外规范（如英国规范小），特别是当楼层总数,n,i,较大时。,但我国规范规定,H,ni,应与实际水平荷载（如风荷载）同时考虑，而国外规范有规定不同时考虑的。,框架最不利内力设计值,在采用一阶弹性分析时，常先计算各种荷载单独作用下的内力，然后进行,最不利内力组合,。满足叠加原理。,二阶弹性分析时，荷载与位移呈非线性关系，叠加原理不再适用。为得到最不利内力，必须先进行,荷载组合,，分别计算内力，取最不利值。,好在多层框架的荷载一般比较简单，只有竖向恒荷和活荷以及水平风荷和假想概念力，组合情况较少。,