弹塑性力学第十一章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第十一章,塑性力学基础,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,11-2 一维问题弹塑性分析,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力,e,等效应变,e,、罗德（Lode）参数,11-4 屈服条件,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,11/26/2024,1,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,1.1单向拉压实验：,不同材料在单向拉压实验中，有不同的,应力应变曲线。,B,A,C,s,o,p,e,e,p,B,A,C,s,o,p,e,s,O,软钢,-,合金钢,-,11/26/2024,2,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,当应力应变曲线在,OA,范围内变化，材料,为弹性变化。当应力达到,s,时（软钢有明显,屈服发生(,AB,段），合金钢无明显屈服发生）,将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的,条件为,B,A,C,s,o,p,e,e,p,B,A,C,s,o,p,e,s,O,软钢,-,合金钢,-,11/26/2024,3,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,f (,) =,-,s,= 0,初始屈服条件（函数）,当软钢应力达到,A,点后，软钢有明显屈服,（塑性流动）阶段。,经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为,强化阶段，,BC,段），但强化阶段,增幅较少。,B,A,C,s,o,p,e,e,p,B,A,C,s,o,p,e,s,O,软钢,-,合金钢,-,11/26/2024,4,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段,应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足,屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变,形存在。卸载按线性弹性。,B,A,C,s,o,p,e,e,p,B,A,C,s,o,p,e,s,O,软钢,-,合金钢,-,11/26/2024,5,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,而对于合金钢，无明显屈服，当,s,时进入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，由,O,点继续加载，在,OB,段又是线性弹性变化，当,达到,B,点再次发生塑性变形，,B,A,C,s,o,p,e,s,O,-,s,=0,后继屈服函数,s,=,s,(,p,),11/26/2024,6,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,B,A,C,s,o,s,O,s,包辛格效应,当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极限,s,s,称为,包辛格效应（,Bauschinger. J. 德国人）。,11/26/2024,7,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,小结：,（1）在弹性阶段,（,s,）：,=,e,应力应变关系一一对应。,（2）当应力达到初始屈服条件（,=,s,时），材料,进入弹塑性阶段，,=,e,+,p,，应力应变关系不再,是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。,（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，,屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流,动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。,（4）有些强化材料具有包辛格效应。,11/26/2024,8,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,1.2 常见的几种简化力学模型,1. 理想弹塑性模型：,加载时：,=E,s,=,s,s,s,o,s,理想弹塑性模型,11/26/2024,9,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,2. 线性强化弹塑性模型：,加载时：,=E,s,= E,s,+ E,t,( ,-,s,) ,s,s,o,s,E,E,t,线性强化弹塑性模型,11/26/2024,10,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,在实际问题中，有时当弹性应变,e,p,塑性应变，可忽略弹性变形。,上述两种模型分别简化为：,s,时,= 0,s,o,=,s,s,o,E,t,s,+E,t,理想刚塑性模型,线性强化刚塑性模型,11/26/2024,11,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,1.3,金属材料在静水压力实验：,前人（,Bridgman,）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：,在静水压力(高压),p,作用下, 金 属 体 积 应 变,e=,V/V=p/k,成正比，当,p,达到或超过金属材料的,s,时，,e,与,p,仍成正比；并且除去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。,11/26/2024,12,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈服应力,s,没有影响。,结论：静水压力与塑性变形无关。,11/26/2024,13,11-2 一维问题弹塑性分析,1.拉压杆的弹塑性问题,图示为两端固定的等,截面杆(超静定杆)，,a,P,N,2,EA,x,N,1,b,设材料为理想弹塑性材料,，,在,x = a,处（,b,a,）作用一,逐渐增大的力,P,。,平衡条件 :,N,1,+,N,2,=P,变形协调条件,：,a,+,b,=0,s,o,s,理想弹塑性模型,11/26/2024,14,11-2 一维问题弹塑性分析,（1）弹性解：,当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为,代入变形协调方程为,或,由于,b,a,，所以,N,1,N,2,，将,代入平衡方程。,11/26/2024,15,11-2 一维问题弹塑性分析,得,最大弹性荷载,力,P,作用点的伸长为,11/26/2024,16,11-2 一维问题弹塑性分析,(2)弹塑性解,P,p,P,P,e,:,P = P,e,后，,P,可继续增大，而,N,1,=,s,A,不增加（,a,段进入塑性屈服，但,b,段仍处于弹性）,N,2,=P- N,1,=P-,s,A,力,P,作用点的伸长取决于,b,段杆的变形,11/26/2024,17,11-2 一维问题弹塑性分析,11/26/2024,18,11-2 一维问题弹塑性分析,(3)塑性解：,P,P,p,P,e,e,N,1,=,s,A , N,2,=,s,A,这时杆件变形显著增加，丧失承载能力,则最大荷载,P,p,=2,s,A,极限荷载,11/26/2024,19,11-2 一维问题弹塑性分析,作业：图示桁架各杆截面面积为,A ,材料为理想弹塑性 ,求,荷载,P,与,C,点竖向位移,关系。,P,A,B,C,D,l,11/26/2024,20,11-2 一维问题弹塑性分析,-,s,s,(1)材料为理想弹塑性;,x,M,M,y,2.梁的弹塑性弯曲,2.1假设:,(2)平截面假设(适用,于,l,h,);,(3) 截面上正应力,x,对变形影,响为主要的;,11/26/2024,21,11-2 一维问题弹塑性分析,2.2梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:,(1) 梁的弯矩,z,y,b,h,在线弹性阶段,弹性极限状态（设矩形截面）:,M=M,e,在截面上,y=h/2,处，,或 最大弹性弯矩,x,M,M,y,11/26/2024,22,11-2 一维问题弹塑性分析,h/2,-,+,s,s,s,s,-,+,y,0,y,0,y,弹塑性阶段：,M,p,M,M,e,弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展，,塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为,11/26/2024,23,11-2 一维问题弹塑性分析,当,y,0,=h/2,时：,h/2,-,+,s,s,s,s,-,+,y,0,y,0,y,最大弹性弯矩,11/26/2024,24,11-2 一维问题弹塑性分析,当,y,0,= 0,时：,h/2,-,+,s,s,s,s,-,+,y,0,y,0,y,-,s,s,+,极限弯矩,11/26/2024,25,11-2 一维问题弹塑性分析,令,=M,p,/M,e,=1.5,（矩形截面）,截面形状系数,。,1.5,1.7,1.15-1.17,截面形状,11/26/2024,26,11-2 一维问题弹塑性分析,截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面称为塑性铰,。,对于静定梁，,截面弯矩达到极限弯矩时，结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态称为极限状态。,11/26/2024,27,11-2 一维问题弹塑性分析,（,2,）梁弹塑性弯曲时的变形,在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系,M=EI,( M,M,e,),或,将应力与弯矩关系式,代入上式,可得,11/26/2024,28,11-2 一维问题弹塑性分析,在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得,或,代入梁弹塑性弯曲时,M,的表达式,得,s,s,-,+,y,0,y,0,y,11/26/2024,29,11-2 一维问题弹塑性分析,( M,M,e,),M,M,p,M,e,e,o,(3),梁弹塑性弯曲时的卸载：,卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯,矩,M=0, 但截面内的应力不为零，有残余,应力存在。以矩形截面为例：,11/26/2024,30,11-2 一维问题弹塑性分析,s,+,-,+,-,s,+,=,-,-,+,+,11/26/2024,31,11-2 一维问题弹塑性分析,2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:,x,M,M,y,z,y,b,h,具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。,中性轴的位置的确定：,11/26/2024,32,11-2 一维问题弹塑性分析,z,y,b,h,在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过,截面的形心。,最大弹性弯矩,M,e,=,s,W,-,+,s,11/26/2024,33,11-2 一维问题弹塑性分析,z,y,b,h,-,+,s,s,+,-,F,1,F,2,在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力,为零来确定,:,F,1,= F,2,11/26/2024,34,11-2 一维问题弹塑性分析,-,+,s,s,-,+,s,s,+,-,F,1,F,2,z,y,b,h,在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:,F,1,= F,2,或,s,A,1,= ,s,A,2,得,A,1,= A,2,中性轴的位置由受拉区截面面,积等于受压区截面面积确定。,11/26/2024,35,11-2 一维问题弹塑性分析,极限弯矩,M,p,=,s,(S,1,+ S,2,),S,1,和,S,2,分别为面积,A,1,和,A,2,对等面积轴的静矩。,作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为,s,试求(1)图示梁截面的,极限,弯矩,M,p,（2）当,M / M,e,=1.2 时，,y,0,的值为多少 ?,a,a,z,y,a),a,a,z,y,b),11/26/2024,36,11-2 一维问题弹塑性分析,超静定梁由于具有多余约束，因此必须有足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。,下面举例说明这个过程。,一端固定、一端简支的等截面梁，跨中受集中荷载作用。,2.4 超静定梁的极限荷载,P,l/2,l/2,A,C,B,11/26/2024,37,11-2 一维问题弹塑性分析,固定端弯矩最大，,2）在弹塑性阶段：固定端首先发生塑性区域，随着荷载增加、固定端成为第一个塑性铰。,1）在线弹性阶段,P,l/2,l/2,A,C,B,P,6Pl/32,A,C,B,5Pl/32,P,e,PP,P,M,P,A,C,B,11/26/2024,38,11-2 一维问题弹塑性分析,固定端弯矩保持,M,p,，当荷载增加到,极限,荷载时，跨中弯矩达到,M,p,。,3）极限状态,P,l/2,l/2,A,C,B,M,P,M,P,极限,荷载,P,p,的确定可采用静力法，也可采用虚功法,。,P,e,P p,e,时，,在筒体内壁附近出现塑性区，并且随着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近,仍为弹性区。,11/26/2024,101,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,由于应力组合,-,r,的轴对称性，塑性区与弹性区的分界面为圆柱面。,筒体处于弹塑性状态下的压力为,p,p,，,弹塑性分界半径为,c,。,此时对于弹性区和塑性区也可按两个厚壁圆筒分别进行讨论。,r = c,r = c,r = c,11/26/2024,102,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,由于轴对称性，在内筒的外壁和外筒内壁分别作用均布径向压力,r,r=c,= q,，,为求解塑性区的应力分量，应满足平衡方程与屈服条件，即,r = c,r = c,r = c,11/26/2024,103,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,将屈服条件代入平衡方程，即得,或,将上式进行积分，得,积分常数,A,可由内壁的边界条件定出:,A = - p,p,-,s,lna,。,11/26/2024,104,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,代入上式可求得,r,，,再由屈服条件，可求出,，,即求得塑性区的应力分量为：,(,d,),由上式可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压,p,p,有关，而与弹性区的应力无关。而且在塑性区内, 0, ,r, 0, ,r, 0,，,而且,r,绝对值最大值发生在,筒体的内壁处，而,的最大值则随着内压的,增加而由内壁移到外壁，随着塑性区的扩大，,应力分布也变得平缓起来。,且,11/26/2024,112,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,在塑性变形阶段，应力与应变关系没有一一对应关系，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关，但在某一给定状态下有一个应力增量，相应地必有唯一的应变增量。,因此，在一般塑性变性条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的材料的本构关系称为增量理论（或流动理论）。,11/26/2024,113,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,在弹塑变形阶段一点的应变增量,d,ij,分为弹性,应变增量,d,e,ij,和塑性应变增量,d,p,ij,两部分，即：,d,ij,= d,e,ij,+ d,p,ij,（加载）,由广义,Hooke,定律：,d,e,ij,与应力增量,d,ij,之间为：,11/26/2024,114,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,为了确定塑性应变增量与应力的关系，需要以实验为基础找出它们的关系。,Lode,曾用受轴向拉伸和内压同时作用的金属薄壁管作实验，所采用的参数为,和,11/26/2024,115,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,通过实验结果，得出大致结论为:,可写为,则认为,11/26/2024,116,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,或,11/26/2024,117,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,在变形的瞬间，主轴方向的塑性应变的增量与相应的应力偏量分量的比值都是相同的，比值为,d,。,比值,d,的表达式,11/26/2024,118,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,将下面三式,两边平方求和：,得：,11/26/2024,119,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,上式为：,11/26/2024,120,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,当理想弹塑性材料,e,= ,s,，,强化材料,e,根据塑性变形历史（实验）得到,e,=,e,(,p,),，,上,述结果是在主轴方向。,普朗特,（,Prandtl,（,1924,年）,Resuss,（,1930,年）,假设：将上述主轴方向推广,到一般三维应力状态。,或,11/26/2024,121,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,或,展开,11/26/2024,122,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,对于刚性塑性体计算模型忽略了弹性变形，,则应力应变关系为,或,11/26/2024,123,