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单击此处编辑母版标题样式,一、等可能概型,二、典型例题,三、几何概率,四、小结,第四节 等可能概型,(,古典概型,),1.定义,一、等可能概型,(,古典概型,),设试验,E,的样本空间由,n,个样本点构成,，,A,为,E,的任意一个事件,，,且包含,m,个样本点,，,则事,件,A,出现的概率记为:,2.,古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义,.,3.,古典概型的基本模型,:,摸球模型,(1),无放回地摸球,问题,1,设袋中有,4,只白球和,2,只黑球,现从袋中无,放回地依次摸出,2,只球,求这,2,只球都是白球的概率,.,解,基本事件总数为,A,所包含,基本事件的个数为,(2),有放回地摸球,问题,2,设袋中有,4,只红球和,6,只黑球,现从袋中有放,回地摸球,3次,求前,2次摸到,黑球,、,第,3,次摸到红球,的概率,.,解,第1次摸球,10种,第,2,次摸球,10种,第,3,次摸球,10种,6种,第1次摸到黑球,6种,第,2,次摸到黑球,4种,第,3,次摸到红球,基本事件总数为,A,所包含,基本事件的个数为,课堂练习,1,骰子问题,掷,3,颗均匀骰子,求点数之和为,4,的,概率,.,4.,古典概型的基本模型,:,球放入杯子模型,(1),杯子容量无限,问题,1,把,4,个球放到,3,个杯子中去,求第1、,2个,杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可,放任意多个球.,4,个球放到,3,个杯子的所有放法,因此第,1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2),每个杯子只能放一个球,问题,2,把,4,个球放到,10,个杯子中去,每个杯子只能,放一个球,求第,1,至第,4,个杯子各放一个球的概率.,解,第,1,至第,4,个杯子各放一个球的概率为,2,o,生日问题,某班有,20,个学生都,是同一年出生的,求有,10,个学生生,日是1月1日,另外,10,个学生生日是,12,月,31,日的概率,.,课堂练习,1,o,分房问题,将张三、李四、王五3人等可能地,分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,解,二、典型例题,例,2,一只口袋装有6只球,其中4只白球,、2,只,红球.,从袋中取球两次,(a)第一次取一只球,放回袋中,抽样.,(b)第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球,(1)取到的两只球都是白球的概率;,(2)取到的两只球颜色相同的概率;,种取球方式:,试分别就上面两种情况求,考虑两,观察其颜色后,第二次从剩,这种取球方式叫做不放回抽样.,每次随机地取一只,这种取球方式叫做放回,搅匀后再取一球.,(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.,(a),放回抽样的情况.,解,事件“取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都,都是红球”,“取到的两只球中至少有一只是白球”.,在袋中依次取两只球，,每一种取法为一个基本,事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且,由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而,可利用(4.1)式来计算事件的概率.,第一次从袋中取球有6只球可供抽取,第二次,也有6只球可供抽取.,由组合法的乘法原理,一共有,对于,由于第一次共有4只白球可供抽取,第,二次也有4只白球可供抽取,则由乘法原理总共有,同理,于是,得,(b)不放回抽样.,由读者自己完成.,例3,试求每个盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).,解,因每一只,故共有,而每个盒子,不同放法.,因而所求的概率为,说明,：许多问题和本例有相同数学模型.,生日问题,假设每人的生日在一年365天中任一天是等可,能的,即都等于1/365,他,们的生日各不相同的概率为,因而,生日问题,我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果:,64 个人的班级里，生日各不相同的概率为,至少有2人生日相同的概率为,在,N,件产品中抽取,n,件,其中恰有,k,件次品的取法,共有,于是所求的概率为,解,在,N,件产品中抽取,n,件的所有可能取法共有,例,5,袋中取一只球,(1)作放回抽样;,(2)作不放回抽样,解,(1)放回抽样的情况,显然有,(2)不放回抽样的情况.,各人取一只球,每种取法是,一个基本事件.,且由于对称性知每个基本事件,发生的可能性相同.,是白球,共有,种取法,故根据,(4.1)式得到,尽管,取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一样,的,大家机会相同,(例如在购买福利彩票时,各人得,奖的机会是一样的).,另外值得注意的是放回抽样与,例,6,在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?,设,A,为事件“取到的数能被6整除”,B,为事件,“取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,例,7,将,15,名新生随机地平均分配到三个班级中,去,这,15,名新生中有,3,名是优秀生,.,问,(1),每一个班,级各分配到一名优秀生的概率是多少,?(2)3,名优,秀生分配在同一个班级的概率是多少,?,解,15,名新生平均分配到三个班级中的分法总数,:,(1),每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3,名优秀生分配在同一个班级的分法共有,3种,对于每一种分法,其余,12,名新生的分法有,因此3,名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,例,8,某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知,所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是,否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有,规定,且各来访者在一周的任一天,中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,1,2,3,4,12,7,7,7,7,7,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,1,2,3,4,12,2,2,2,2,2,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,定义,当随机试验的样本空间是某个区域,，,并且任意一点落在度量,(,长度,、,面积,、,体积,),相同的子区域是等可能的,，,则事件,A,的概率可定义为,说明,当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.,三、几何概型,那么,两人会面的充要条件为,例,7,甲、乙两人相约在 0 到,T,这段时间内,在预,定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间,t,(,t,0)的一些平行直,线,现向此平面任意投掷一根长为,b,(,b,a,)的针,试求,针与某一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离,a,=1),3.1795,859,2520,0.5419,1925,Reina,3.1415929,1808,3408,0.83,1901,Lazzerini,3.1595,489,1030,0.75,1884,Fox,3.137,382,600,1.0,1860,De Morgan,3.1554,1218,3204,0.6,1855,Smith,3.1596,2532,5000,0.8,1850,Wolf,相交次数,投掷次数,针长,时间,试验者,利用,蒙特卡罗,(Monte Carlo),法,进行计算机模拟.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,试验结果,连续无穷,四、小结,蒲丰资料,Born:,7 Sept.1707 in Montbard,Cte dOr,France,Died:,16 Apr.1788 in Paris,France,Georges Louis Leclerc Comte de Buffon,
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