分式方程的无解与增根

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分式方程的无解与增根专题,1.,如果 有增根,那么增根是,_.,可能是,_,2.,如果,有增根,那么增根,知识回顾,:(3,分钟,),学习目标,:(1,分钟,),1.,掌握分式方程的增根与无解这两个概念；,2.,掌握增根与无解有关题型的解题方法；,自学指导一,:(4,分钟,),分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值等它包含两种情形：,（一）原方程化去分母后的整式方程无解；,（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为,0,，它是原方程的增根，从而原方程无解,例,1,解方程：,解：方程两边都乘以（,x+2,）（,x-2,），得,2,（,x+2,）,-4x=3,（,x-2,）,解这个方程，得,x=2,经检验：当,x=2,时，原分式方程无意义，,所以,x=,是原方程的增根,所以原方程无解,(,分式方程有增根的解题格式,),【,说明,】,显然，方程中未知数,x,的取值范围是,x2,且,x-2,而在去分母化为方程后，此时未知数,x,的取值范围扩大为全体实数所以当求得的,x,值恰好使最简公分母为零时，,x,的值就是增根本题中方程的解是,x,2,，恰好使公分母为零，所以,x,2,是原方程的增根，原方程无解,例,2,解方程：,解：去分母后化为,x,1,3,x,2,（,2,x,）,整理得,0 x,8,因为此方程无解，所以原分式方程无解,【,说明,】,此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根,例,3,若方程,=,无解，则,m=,解：原方程可化为,=,方程两边都乘以,x,2,，得,x,3=,m,解这个方程，得,x=3,m,因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根,即,x=2,，所以,2=3,m,，解得,m=1,故当,m=1,时，原方程无解,【,说明,】,因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例,例,4,：,当,a,为何值时，关于,x,的方程 ,会产生增根？,解：方程两边都乘以（,x+2,）（,x-2,），,得,2,（,x,2,）,ax,3,（,x,2,）,整理得（,a,1,）,x,10 ,若原分式方程有增根，则,x,2,或,2,是方程的根,把,x,2,或,2,代入方程中，解得，,a,4,或,6,【,说明,】,做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值,若将此题,“,会产生增根,”,改为,“,无解,”,，即：,当,a,为何值时，关于,x,的方程 无解？,（此时还要考虑转化后的整式方程（,a,1,）,x,10,本身无解的情况，解法如下：）,解：方程两边都乘以（,x+2,）（,x-2,），,得,2,（,x,2,）,ax,3,（,x,2,）,整理得（,a,1,）,x,10 ,若原方程无解，则有两种情形：,（,1,）当,a,1,0,（即,a,1,）时，方程为,0 x,10,，此方程无解，所以原方程无解。,（,2,）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解原方程若有增根，增根为,x,2,或,2,，把,x,2,或,2,代入方程中，求出,a,4,或,6,综上所述，,a,1,或,a,一或,a,6,时，原分式方程无解,结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义,自学检测,1,：,1.,如果分式方程 有增根，那么增根可能是,_.,2.,当,m,为何值时,方程,会产生增根,.,3.,当,k,为何值时,分式方程,无解,.,4.,自学指导二,:,分式方程的应用,1.,若分式方程 的根为,x=3,，,求,a,2,-5,的平方根。,2.,若关于,x,的分式方程 的解为正数，求,a,的取值范围。,变式,：,若关于,x,的分式方程,的解为负数，求,a,的取值范围。,当堂训练,