曲线积分与曲面积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲线积分与曲面积分,实验目的,学习用软件计算曲线积分、曲面积分,实验内容,、曲线积分,1,、对弧长的曲线积分,若,L,：,t,，则,若,L,：,t,，,则,例,1,计算,，,为,x,2,+y,2,=a,2,中的,一段弧。,解,方法,：选,x,为,参数，则,y,x,A,B,0,方法,：选,y,为参数，则,方法,：选,t,为参数，则有参数方程,syms t,I=int(x*y*sqrt(diff(x)2+diff(y)2),atan(sqrt(3),pi/2),运行结果：,I=1/8*a2*(a2)(1/2),I=simple(I),运行结果：,I=1/8*a3,2,、对坐标的曲线积分,L,是二维有向曲线：,t,：,是三维有向曲线：,t,：,例,2,计算,x,3,dx+3zy,2,dy-x,2,ydz,，其中,是从点,A,（,3,，,2,，,1,）到点,B,（,0,，,0,，,0,）,的直线段,。,解,直线段,的方程为,化为参数方程,t,：,10,syms t,x=3*t;y=2*t;z=t;,I=int(x3*diff(x)+3*z*y2*diff(y),-x2*y*diff(z),t,1,0),运行结果：,I=-87/4,3,、格林公式,设闭区域,D,由分段光滑的曲线,L,围成，,函数,P,（,x,y,）,及,Q,（,x,y,）,在,D,上具有一阶,连续偏导数，则有,其中,L,是,D,的取正向的边界曲线。,例,3,计算曲线积分,L,(x,2,+xy)dx+(x,2,+y,2,)dy,，,其中,L,是区域,0 x1,，,0y1,的边界,正向。,解,令,P,（,x,y,）,=x,2,+xy Q,（,x,y,）,=x,2,+y,2,由格林公式得,syms x y,P=x2+x*y;Q=x2+y2;,I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1),运行结果：,I=1/2,二、曲面积分,1,、,对面积的曲面积分,若曲面,的方程为,:,z=z(x,y),则,例,4,计算曲面积分,其中,为锥面,被曲面,x,2,+y,2,=2ax,所截得的部分。,解：步骤,(1),由,的参数方程,作曲面,的图形和,在,xoy,平面的投影,区域,Dxy,的图形；,(0,t,2,),(2),建立直角坐标系下的被积函数；,(3),将,F(x,y),作极坐标变换,x=rcost,y=rsint;,(4),将曲面积分化为对,r,t,的二次积分,(5),化简积分结果,程序：,2,、对坐标的曲面积分,化为二次积分,例,5,计算,，其中,是上半球面,的上侧。,解,步骤：,1,、作上半球面,的图形及其在三个坐标,平面的投影图形；,2,、计算,I,I,1,I,2,I,3,3,、,高斯公式设空间闭区域,是由,分片光滑的闭曲面,所围成，函数,p(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),在,上具有一,阶连续导数，则有,例,6,用高斯分式计算例,5,解,分析：积分曲面,不是封闭,曲面，添加平面,1,:z=0,使构成封闭,曲面,1,。,步骤：,(1),计算沿封闭曲面的积分,令,P=xz,2,Q=x,2,y-z,3,r=2xy+y,2,z,(2),计算,1,上的曲面积分,(3),syms a x y z s r t,P=x*z2;,Q=x2*y-z2;,R=2*x*y+y2*2;,f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z);,f=subs(f,x,y,z,r*sin(s)*cos(t),r*sin(s)*sin(t),r*cos(s);,I1=int(int(int(f*r2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2),t,0,2*pi),运行结果：,I1=2/15*a5*pi,I2=int(int(2*x*y,y,-sqrt(a2-x2),sqrt(a2-x2),x,-a,a),运行结果：,I2=0,I=I1-I2,运行结果：,I=2/15*a5*pi,上机实验题,1,、,计算下列曲线积分,其中,L,为摆线一,x=a(t-,sint,),y=a(1-cost,)(0,t2,),。,，其中,L,为圆周,x,2,+y,2,=a,2,直,线,y=x,及轴在第一象限内所围成的,扇形的整个边界。,其中,L,是抛,物线,y=x,2,上从点（,1,1,）到点（,1,1,）,的一段弧。,其中,L,为圆周,(x-1),2,+y,2,=2,，,逆时针方向。,2,、,计算下列曲面积分,，其中,为平,面,2x+2y+z=6,在处一卦限中的部分,.,(2),其中,是球面,x,2,+y,2,+z,2,=R,2,的下半部分的下侧。,(3),，其中,是界于,z=0,和,z=3,之间的圆柱体,x,2,+y,2,9,的整个表面的外侧。,