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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高三总复习 数学,(大纲版),第三节 二项式定理,考纲要求,掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题,考试热点,1.运用二项式定理的通项公式求指定项或与系数有关的问题；,2赋值法、转化与化归思想等在二项展开式中的应用问题.,注意：,(1)要分清展开式中某一项的系数和该项的二项式系数的区别：二项式系数是指展开式中,(,r,0,1,2,n,)；项的系数是指展开式中对应项内某一字母而言的系数(2)二项展开式的通项是第,r,1项，而不是第,r,项,注意：,当,n,为偶数时，二项式系数中，以,最大；当,n,为奇数时，二项式系数中以,(两者相等)最大,注意：,二项式定理适用于解决以下问题：,(1)近似计算问题；,(2)整除性问题或余数问题；,(3)求(证)有关组合数的恒等式；,(4)证明有关不等式,答案：,A,2要使,有最大值，则,m,的值是 (),A14 B13,C13或14 D15,解析：,由二项式系数的性质可知应选C.,答案：,C,答案：,A,解析：,A,B,(31),7,2,7,128.,答案：,128,5已知(12,x,),7,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,7,x,7,，那么,a,1,a,2,a,3,a,7,_.,解析：,令,x,1，则,a,0,a,1,a,2,a,7,1，,又令,x,0，则得,a,0,1，,所以,a,1,a,2,a,3,a,7,112.,答案：,2,求二项展开式中的特定项,例1,已知 的展开式前三项中的,x,的系数成等差数列,(1)求展开式里所有,x,的有理项；,(2)求展开式里系数最大的项,求(1,x,),10,的展开式中的常数项,求展开式的各项系数和,例2,(2009江西高考),(1,ax,by,),n,展开式中不含,x,的项的系数绝对值的和为243，不含,y,的项的系数绝对值的和为32，则,a,，,b,，,n,的值可能为 (),A,a,2，,b,1，,n,5,B,a,2，,b,1，,n,6,C,a,1，,b,2，,n,6,D,a,1，,b,2，,n,5,分析,根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决,解析,只要令,x,0，,y,1，即得到(1,ax,by,),n,展开式中不含,x,的项的系数的和(1,b,),n,，令,x,1，,y,0，即得到(1,ax,by,),n,展开式中不含,y,的项的系数的和(1,a,),n,.如果,a,，,b,是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果,a,，,b,有负值，相应地，分别令,y,1，,x,1等，此时的和式为(1,b,),n,，(1,a,),n,，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1|,b,|),n,，(1|,a,|),n,.,根据题意(1|,b,|),n,2433,5,，(1|,a,|,n,)322,5,，因此,n,5，|,a,|1，|,b,|2，故选D.,答案,D,拓展提升,本题表面上看起来是一个三项式问题，而实质是以这个三项式为基础设计了两个二项式问题，这两个二项式是(1,by,),n,，(1,ax,),n,，题目设计的已知条件就是这两个展开式的各项系数的绝对值的和分别为243,32，最后落脚于方程思想解题本题容易出现找错各项系数绝对值的和的问题，对本题而言就是把符合要求的各项系数的绝对值的和求为(1,a,),n,，(1,b,),n,也不影响最后结果，但解答问题是不严谨的,若(1,x,),6,(12,x,),5,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,11,x,11,，求：,(1),a,1,a,2,a,3,a,11,；,(2),a,0,a,2,a,4,a,10,.,解：,(1)(1,x,),6,(12,x,),5,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,11,x,11,.,令,x,0，则,a,0,1.,令,x,1，得,a,0,a,1,a,2,a,11,2,6,a,1,a,2,a,3,a,11,2,6,165.,(2)令,x,1得,a,0,a,1,a,2,a,3,a,11,0,，得,a,0,a,2,a,10,32.,分析,(1)可利用“赋值法,”,求各项系数的和；,(2)可利用展开式中的通项公式确定,r,的值；,(3)可利用通项公式求出,r,的范围，再确定项,已知 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的.,(1)求该展开式中二项式系数最大的项；,(2),求展开式中系数最大的项,二项式定理的其他应用,例4,(1)求证：122,2,2,5,n,1,能被31整除(,n,N,*,)；,(2009江西高考),(2)若 能被7整除，则,x,，,n,的值可能为 (),A,x,4，,n,3,B,x,4，,n,4,C,x,5，,n,4,D,x,6，,n,5,分析,(1)先求和，再将2,5,n,变为32,n,.,(2)逆用二项式定理，结合选项进行分析解决,答案,C,拓展提升,本题主要考查二项式定理的应用，即整除问题，考查化简、变形及分析问题的能力,(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可,(2)求余数问题时，应明确被除式,f,(,x,)与除式,g,(,x,)(,g,(,x,)0)，商式,q,(,x,)与余式的关系及余式的范围,求证：3,n,(,n,2)2,n,1,(,n,N,*,，且,n,2),证明：,n,N,*,，且,n,2.,3,n,(21),n,展开至少有四项,(21),n,2,n,2,n,n,2,n,1,2,n,1,2,n,n,2,n,1,(,n,2)2,n,1,，,3,n,(,n,2)2,n,1,.,1,二项展开式的通项及其应用,通项：,T,r,1,(,r,0,1,2，,n,),应用：,(1)求指定项；,(2)求特定项：常数项(字母的次数为0)，有理项(字母的次数为整数)等；,(3)特定项的系数,注意：,(1)通项公式的书写要准确，特别要注意符号问题，根式问题的计算要细心认真；,(2)要将通项中的系数和字母分离出来，以便解决有关问题,对于二项式定理，不仅要会正用，而且要从整体把握，灵活地应用，对于三项式问题可转化为二项式定理问题去处理,2,赋值法,求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，若要求奇数项的系数之和，或偶数项的系数之和，可分别令,x,1，,x,1，两等式相加或相减即可求得结果,3,二项式定理的应用,(1)用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识解决,(2)用二项展开式证明不等式，根据证明的目标展开有限项或进行不等式的放缩,
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