相似三角形的性质极其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.4 相似三角形的性质,及其应用（1）,某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？,你能够将上面生活中的问题,转化为数学问题吗？,D,E,问题情境,30m,18m,B,C,A,探究新知,在,88,的正方形网格中，,ABCA,/,B,/,C,/,，,探究下面 的问题：,1、两个相似三角形的相似比是多少？,2、,两个相似三角形,的周长比是多少？,3、,两个相似三角形,的面积比是多少？,4、两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？,相似三角形的周长比等于相似比，,面积比等于相似比的平方,B,/,C,/,A,/,B,A,C,验一验：,是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？,D,D,/,探究新知,B,/,C,/,A,/,B,A,C,相似三角形的周长比等于相似比;,相似三角形的面积比等于相似比的平方,求证:,已知:,ABCA,/,B,/,C,/,，相似比为k,证明：ABCA,/,B,/,C,/,且相似比为k,AB=,k,A,/,B,/,，BC=,k,B,/,C,/,，AC=,k,A,/,C,/,探究新知,B,/,C,/,A,/,B,A,C,证明：作BC、B,/,C,/,边上的高AD、A,/,D,/,ABCA,/,B,/,C,/,D,D,/,已知:,ABCA,/,B,/,C,/,，相似比为,k,求证:,=,k,k=k,2,探究新知,B,/,C,/,A,/,B,A,C,D,D,/,相似三角形的对应边上的高之比等于相似比,已知:,ABCA,/,B,/,C,/,，相似比为,k,AD、A,/,D,/,分别是BC、B,/,C,/,边上的高,求证:,相似三角形对应边上的中线之比等于相似比,相似三角形对应边上的角平分线之比等于相似比,你能类比,证明吗?,1、已知两个三角形相似，请完成下列表格,相似比,周长比,面积比,2,4,100,100,10000,2,注意：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要,平方,，而已知面积比，求相似比或周长比则要,开方,。三者知道其中一个就可以求出另外两个。,做一做,m,m,m,2,k,在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍?,答:三角形的边长,周长放大为10倍.,三角形的面积放大为100倍.,三角形的角大小不变.,B,A,C,D,E,解:,如图，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m,ABC,的周长为80m，面积为100m,2,求,ADE的周长和面积,问题解决,30m,18m,A,B,C,E,F,变3：,如图，已知ABC,EFBC,与AB、AC分别交与点E、F，把ABC划分成两部分（三角形与四边形）的面积之比为1：1，则AE：AB=?,如果要使划分成的两部分的面积之比为1：2，则AE：AB=?,如果要使划分成的两部分的面积之比为1：n，,则AE：AB=?,D,1:,1:,1:,知识运用,E,F,30cm,18cm,B,C,A,变4:如图，已知EF/BC，AC=30cm，FC=18cm，,ABC,的周长为80cm，面积为100cm,2,，求,AEF的周长和面积,过F作FP/AB交BC于P,其他条件,不变，则,FPC的面积等于多少？,P,知识运用,2、如图，ABC中，EFBC,PFAB，若设S,ABC,=S，S,AEF,=S,1,，S,FCP,=S,2.,请猜想：S与S,1,、S,2,之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？,A,B,C,E,F,P,类比猜想,A,C,B,P,F,M,N,G,E,D,S,3,S,1,S,2,如图,，DE/BC,FG/AB,MN/AC,且,DE、FG、MN,交于点,P。,若记,S,DPM=S,1,S,PEF=S,2,S,GNP=S,3,S,ABC=S,、,S与S,1、,S,2、,S,3,之间是否也有,类似结论,？猜想并加以验证,。,探究,例:,如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10 000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。,其中测得：AB=3.4cm，BC=3.8cm，AC=2.5cm，高AD=2.2cm,C,解：ABC的周长=3.4+3.8+2.5=9.7cm,三角形地块的实际周长为9.710,4,cm，即970m,S,ABC,=3.82.22=4.18（cm,2,）,三角形地块的实际面积为4.1810,8,cm,2,，即41800m,2,D,答：估计三角形地块的周长为970cm，实际面积为41800m,2,。,A,B,知识运用,3.4,2.2,3.8,2.5,A,B,C,如图，E、F分别是AB、AC上的点,EFBC，AE:AB=1:3,E,F,（,1）若BC=9cm,EF=_,（2）AEF与ABC的周长之比,=_,（,3）AEF与ABC的面积之比,=_,E,F,变1:当AFE=B，AF=2,AB=5时，你能得到哪些结论？,若ADBC于点D,AGEF于点G,求AD:AG的值.,D,G,变2：若EFBC，AE:EB=1:2,ADBC于点D,交EF于点H,AD=6cm,求AH的长.,H,3cm,1：3,1：9,5：2,2cm,知识运用,2,5,1,、相似三角形的性质：,课堂回顾,这些知识你掌握了吗？,3,、运用相似三角形的性质解决简单的几何问题,相似三角形的,对应周长之比=相似比,对应高之比=相似比,对应中线比=相似比,对应角平分线比=相似比,对应面积之比=相似比的,平方,2、相似比、周长比、面积比中知道其中一个可以求,另两个量,1,、,ABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，,ACD=,B，且AC=2AD.则,ACD,_.它们的相似比K=_,A,B,C,E,D,G,A,B,C,E,F,G,H,J,K,2、如图，ABC中，EFGHBC,AE=EG=GB,AEF、四边形,EFHG、四边形GHCB的面积,依次记为S,1,、S,2,、S,3。,则 S,1,:S,2,:S,3,=?,如果延长AB、AC，使EFGHBCJK,AE=EG=GB=JK,四边形BCKJ的面积为S,4,则S,1,:S,2,:S,3,:S,4,=?,S,1,S,2,S,3,S,4,其余条件不变，AE:EG:GB=1:2:3,则S,1,:S,2,:S,3,=?,挑战自我,如图，,ABC,是一块锐角三角形余料，边,BC=120,毫米，高,AD=80,毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在,BC,上，其余两个顶点分别在,AB,、,AC,上，这个正方形零件的边长是多少？,N,M,Q,P,E,D,C,B,A,解：,设正方形PQMN是符合要求的,ABC,的高,AD,与,PN,相交于点,E,。设正方形PQMN的边长为,x,毫米。,因为,PNBC,，所以,APN ABC,所以,AE,AD,=,PN,BC,因此 ，得,x=48,（毫米）。答：-。,80 x,80,=,x,120,在Rt,ABC中，C=90,。,，AC=4，BC=3，,（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于,ABC，求正方形的边长。,（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于,ABC，求正方形的边长,（1）如图1，四边形DEFG为,ABC的内接正方形，求正方形的边长。,C,E,D,B,A,F,G,C,E,D,B,A,F,G,K,H,C,B,A,课外拓展,（4）如图4，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节于,ABC，请写出正方形的边长。,C,E,D,B,A,F,G,C,E,D,B,A,F,G,K,H,C,B,A,C,B,A,