导数的几何意义(114)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的几何意义,回顾,以平均速度代替瞬时速度，然后通过,取极限，,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,我们把物体在某一时刻的速度称为,瞬时速度.,函数y=f(x)在x=x,0,处的瞬时变化率是:,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x,0,处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.,自变量的增量,x的形式是多样的,但不论x选择,哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,回顾,回顾,平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x,1.,x,2,D,f(x)从x,1,到x,2,平均变化率为:,平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,=x,f(x,2,)-f(x,1,)=y,直线AB的斜率k,AB,那么瞬时变化率呢?,引入:,切线问题：,（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们的切线是如何定义的？,（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线？,（3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点？,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,导数的几何意义:,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即,x,0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的,切线.,设切线的倾斜角为,那么当,x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的,切线的斜率,.,即:,这个概念:,提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;,切线斜率的本质函数在x=x,0,处的导数.,注意:曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关;,(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;,(3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,例1:求曲线y=f(x)=x,2,+1在点P(1,2)处的切线方程.,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:,求出P点的坐标;,利用切线斜率的定义求出切线的斜率;,利用点斜式求切线方程.,在不致发生混淆时，,导函数,也简称,导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x,0,处求导数的过程可以看到,:f(x,0,)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,练习,:如图已知曲线 ,求:,(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点P处的切线的斜率等于4.,(2),在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,如何求函数y=f(x)的导数?,小结:,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数,学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物,理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在,全过,程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：,（1）求函数的增量；,（2）求平均变化率；,（3）取极限，得导数。,（3）函数f(x)在点x,0,处的导数 就是导函数,在x=x,0,处的函数值，即 。这也是,求函数在点x,0,处的导数的方法之一。,小结:,（2）函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数值的,改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常,数，不是变数。,c.弄清“函数f(x)在点x,0,处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。,（1）求出函数在点x,0,处的变化率 ，得到曲线,在点(x,0,f(x,0,)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,d.求切线方程的步骤：,小结:,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,