曲线与方程(三个课时)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1 曲线与方程,2.1.1 曲线与方程,为什么,?,复习回顾:,我们研究了直线和圆的方程.,1.经过点P(0,b),和斜率为k的直线L的方程,为_,2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的,直线方程是_,3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程,为_.,x-y=0,点的横坐标与纵坐标相等,x=y,（或,x,-,y=,0）,第一、三象限角平分线,含有关系,：,x-y,=0,x,y,0,（1）,上点的坐标都是方程,x-y,=0的解,（2）,以方程,x-y,=0的解为坐标的点都在 上,曲线,条件,方程,坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是,x-y=0,思考,?,圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:,思考,?,满足关系：,（,1）、如果,是圆上的点，那么,一定是这个方程的解,0,x,y,M,（2）、方程,表示如图的圆,图像上的点M与此方程 有什么关系？,的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。,（2）,、如果,是方程,(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;,(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,.,那么,这个方程叫做,曲线的方程,;,这条曲线叫做,方程的曲线,.,定义:,1,.曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系;,方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.,f,(,x,y,)=0,0,x,y,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(,看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹,)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:,说明:,2.“,曲线上的点的坐标都是这个方程 的解,”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.,（纯粹性）.,3.“,以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,（完备性）.,由曲线的方程的定义可知:,如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P,0,(x,0,y,0,)在曲线C 上的,充要条件,是,f(x,0,y,0,)=0,例1,:,判断下列命题是否正确,解,:,(1)不正确，不具备完备性，应为x=3,(2)不正确,不具备纯粹性，应为y=1.,(3)正确.,(4)不正确,不具备完备性,应为x=0(-3y0).,(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=3,(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1,(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为xy=1 (4)ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0,例2.,证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.,M,第一步，设 M(,x,0,y,0,)是曲线C上任一点，证明(,x,0,y,0,)是,f,(,x,y,)=0的解；,归纳:,证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设(,x,0,y,0,)是,f,(,x,y,)=0的解，证明点 M(,x,0,y,0,)在曲线,C,上.,练习1:,下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;,(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为,x,+=0;,(3)曲线C是,象限内到,x,轴，,y,轴的距离乘积为1的点集其方程为,y,=。,1,0,x,y,-1,1,0,x,y,-1,1,-2,2,1,0,x,y,-1,1,-2,2,1,练习2:,下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？,-=0,|,x,|-|,y,|=0,x,-|,y,|=0,1,1,O,X,Y,1,1,O,X,Y,1,1,O,X,Y,-1,-1,1,1,O,X,Y,-1,A,B,C,D,练习3:,若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是(),A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C,B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上,C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C,D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部,D,C,练习4:,设圆,M,的方程为 ,直线,l,的方程为,x,+,y,-3=0,点,P,的坐标为(2,1),那么(),A.点,P,在直线上，但不在圆上,B.点,P,在圆上，但不在直线上；,C.点,P,既在圆上，也在直线上,D.点,P,既不在圆上，也不在直线上,练习5:,已知方程 的曲线经过点 ,则,m,=_,n,=_.,求曲线的方程（1）,复习回顾,2.练习：,(1)设A(2,0)、B(0,2)，,能否说,线段,AB的方程为x+y-2=0?,(2)方程x,2,-y,2,=0表示的图形是_,1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念,3.证明已知曲线的方程的方法和步骤,上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（,x,y,）所满足的方程,f,(,x,y,)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.,“数形结合”数学思想的基础,1解析几何与坐标法：,我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做,坐标法.,在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫,解析几何,的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.,2平面解析几何研究的主要问题：,（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.,说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.,.,由两点间的距离公式，点,M,所适合条件可表示为：,将上式两边平方，整理得：,x,+2,y,7=0 ,我们证明方程是线段,AB,的垂直平分线的方程.,（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程解；,（2）设点,M,1,的坐标（,x,1,y,1,）是方程的解，即:,x,+2,y,1,7=0,x,1,=72,y,1,解法二,:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合,问题1.,设A、B两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.,即点,M,1,在线段,AB,的垂直平分线上.,由(1)、(2)可知方程是线段,AB,的垂直平分线的方程.,点M,1,到A、B的距离分别是,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：,说明：,一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.,(1),建系设点：,建立适当的坐标系,用有序实数对（,x,y,）表示曲线上任意一点,M,的坐标；,(2),列式:,写出适合条件p的点M集合P=M|p(M),(3),代换:,用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;,(4),化简:,化方程,f,(,x,y,)=0为最简形式；,(5),审查:,说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,例2.,已知一条直线,l,和它上方的一个点A，点A到,l,的距离是2,一条曲线也在,l,的上方，它上面的每一点到A的距离减去到,l,的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.,取直线,l,为x轴,过点A且垂直于直线,l,的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：,2)列式,3）代换,4)化简,5）审查,1）建系设点,因为曲线在,x,轴的上方，所以,y,0,所以曲线的方程是,设点M(x,y)是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是B，,通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的,点所要适合的条件列出等式,，是求曲线方程的,重要环节,，在这里常用到一些基本公式，如,两点间距离公式,，,点到直线的距离公式,，,直线的斜率公式,，,中点公式,等,，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.,2.1.2 求曲线的方程,（2）,求曲线（图形）的方程步骤：,说明：,一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.,(1),建系设点：,建立适当的坐标系,用有序实数对（,x,y,）表示曲线上任意一点,M,的坐标；,(2),列式:,写出适合条件p的点M集合P=M|p(M),(3),代换:,用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;,(4),化简:,化方程,f,(,x,y,)=0为最简形式；,(5),审查:,说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,复习回顾,解:,练习1.,2.,B,B,3.,4.到F(2，0)和,y,轴的距离相等的动点的轨迹方程是_,解:设动点为,(,x,，y),，则由题设得,化简得:,y,2,=4(x-1),这就是所求的轨迹方程.,y,2,=4(x-1),5.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.,设A(x，y)，又D(0，0)，所以,化简得:,x,2,+y,2,=9 (y0),这就是所求的轨迹方程.,解:取B、C所在直线为,x,轴，线段BC的中垂线为,y,轴，建立直角坐标系.,1.直接法:,求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立x,y之间的关系,构成 F(x,y)=0 即可.,直接法,定义法,代入法,参数法,求轨迹方程的常见方法:,2.定义法,：,（,待定系数法）,利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有,定点,与,定直线,及,两定点距离之和或差为定值,的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件（下面的课中讲）,3.代入法,:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P(x,y)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P(x,y)，那么可寻求关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程F(x,y)=0中，得到动点P的轨迹方程.,例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x,2,-1上移动,求ABC的重心的轨迹方程.,4.参数法:,选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。,归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。,例、经过原点的直线,l,与圆,相交于两个不同点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.,消参法,1.求曲线的方程的一般步骤：,设（,建系设点,）,找,（,找等量关系,）,列,（,列方程,）,化（,化简方程,）,验（,以方程的解为坐标的点都是曲线上的点,）,-M(x,y),-P=M|M满足的条件,课堂小结,2.“数形结合”数学思想的基础,3、,求曲线 方程的四种方法：直接法、定义法、代入法、参数法,