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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例,:,设,曲面形构件,具有连续面密度,类似求,平面薄板质量,的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量,M,.,其中,表示,n,小块曲面的,直径的,(,曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者,).,最大值,定义,:,设,为光滑曲面,“乘积,和式极限”,都存在,的,曲面积分,其中,f,(,x,y,z,),叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f,(,x,y,z,),是,定义在,上,的一,个有界,函数,记作,或,第一类曲面积分,.,若对,做,任意分割,和局部区域,任意取点,则称此极限为函数,f,(,x,y,z,),在曲面,上,对面积,函数,叫做,积分曲面,.,则对面积的曲面,积分存在,.,对积分域的可加性,.,则有,线性性质,.,在光滑曲面,上,连续,对面积,的曲面积分与,对弧长,的曲线积分,性质类似,.,积分的存在性,.,若,是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理,:,设有光滑曲面,f,(,x,y,z,),在,上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则,曲面积分,证明,:,由定义知,而,(,光滑,),说明,:,可有类似的公式,.,1),如果曲面方程为,2),若曲面为,参数方程,只要求出在参数意义下,d,S,的,表达式,也可将对,面积的曲面积分转化为,对参数的,二重积分,.,(,见本节后面的例,4,例,5),例,1.,计算曲面积分,其中,是球面,被平面,截出的顶部,.,解,:,思考,:,若,是球面,被平行平面,z,=,h,截,出的,上、下两部分,则,例,2.,计算,其中,是由平面,坐标面所围成的四面体的表面,.,解,:,设,上的部分,则,与,原式,=,分别表示,在平面,练习,1,解,例,3.,设,计算,解,:,锥面,与上半球面,交线为,为上半球面,夹于锥面间,的部分,它在,xOy,面上的,投影域为,则,思考,:,若例,3,中被积函数改为,计算结果如何,?,解,依对称性知：,例,4.,求半径为,R,的均匀,半球壳,的,重心,.,解,:,设,的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,思考题,:,例,3,是否可用球面坐标计算,?,例,5.,计算,解,:,取球面坐标系,则,例,6.,计算,其中,是球面,利用对称性可知,解,:,显然球心为,半径为,利用重心公式,练习,3,解,（左右两片投影相同）,例,7.,计算,其中,是介于平面,之间的,圆柱面,分析,:,若将曲面分为前后,(,或左右,),则,解,:,取曲面,面积元素,两片,则,计算较繁,.,例,8.,求椭圆柱面,位于,xOy,面上方及平面,z=y,下方那部分,柱面,的侧面积,S,.,解,:,取,练习,4,解,例,9.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h,=36000,km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算,该,通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比,.,(,地球半径,R,=6400 km),解,:,建立坐标系如图,记覆盖曲面,的,半,顶角为,利用球面坐标系,则,卫星覆盖面积为,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由,以上结果可知,卫星覆盖了地球,以上的面积,故,使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全,表面,.,说明,:,此题也可用二重积分求,A,.,内容小结,1.,定义,:,2.,计算,:,设,则,(,曲面的其他两种情况类似,),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧,.,课堂练习题,P219,题,1,；,3,；,4,(1),;7,解答提示,:,P219,题,1.,P219,题,3.,设,则,P246,题,2,P219,题,4,(1),.,在,xOy,面上的投影域为,这是,的面积,!,P220,题,7.,如图所示,有,P246,题,2.,限中的部分,则有,().,(2000,考研,),思考题,1.,已知,曲面壳,求此曲面壳在平面,z=1,以上部分,的,的面密度,质量,M.,解,:,在,xOy,面上的投影为,故,2.,设,是四面体,面,计算,解,:,在四面体的四个面上,同上,平面方程,投影域,同上,平面方程,投影域,作业,P219,4,(3),;,5,(2,),;,6,(1),(3),(4),;,8,；,第五节,
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