傅里叶变换的基本性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节傅里叶变换的基本性质,主要内容：,1.对称性质,2.线性性质,3.奇偶虚实性,4.尺度变换性质,5.时移特性,时域卷积定理,频域卷积定理,6.频移特性,7.时域积分性质,8.时域微分性质,9.频域微分性质,10.帕塞瓦尔定理,例1：,1.对称性,(互易对偶性),(时频对称性),例2：,？,例3,其中，a1,a2为常数,2.线性性,则：,3.奇偶虚实性,意义,(a),0,a,1 时域压缩，频域扩展,a,倍。,4.尺度变换特性,（展缩特性）,例：,信号的持续时间与信号占有频带成反比,结论：,时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。,时移加尺度变换：,5.时移特性,式中,t,0,为任意实数,注意：,信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域,中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。,书例3-2：,求下列所示三脉冲信号的频谱。,解：令f,0,(t)表示矩形单脉冲信号,由时移特性可得：,其频谱如下：,实偶信号的频谱为实偶,已知双Sa信号,试求其频谱。,令,（书P133）,解：,.,由时移特性得到,从中可以得到幅度谱为,双Sa信号的波形和频谱如图,（d）,（e）所示。,6.频移特性,（调制定理）,证明：,由傅立叶变换定义有,证明：,书例3-4,已知矩形调幅信号如图所示,其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为,，试求其频谱。,解：G(t)矩形脉冲的频谱为：,根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为,（书P133）,书例3-5：（书P134）,注意“1”的作用,利用频移定理求余弦信号的频谱。,解一：,解二：,余弦信号及其频谱函数,注意：周期信号也存在傅里叶变换,7.时域积分特性,证明方法一：书P.135,证明方法二：,利用卷积定理,正向应用,逆向应用,应用：,更常用,时域积分性质应用举例：,例1：,(补充),解：,直接套用性质,用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换,正向应用,即：,解：,（书例3-7）,用时域积分性质求y(t)的频谱,求导,逆向应用,对所求函数先微分再表示成积分形式,例1：,易出错处：,微分后再积分不一定等于原函数！,解：,求导,(2),（补充）,例2：,代入上式得：,8.时域微分特性,证明：书P.134,正向应用,逆向应用,应用：,（有条件）,时域微分性质应用举例：,正向应用：,例1：（补充）,解：,用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换,直接套用性质,直接套用性质,即：,例：,？,逆向应用：,即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换,思考：,为什么结果错误？,例2（补充）：,特别：,所有的时限信号都满足上述条件。,逆向应用条件:,解：,求导,(2),逆向应用,例3（补充）,思考:,能否用时域微分性质求y(t)的频谱?,易出错处：,逆向应用时域微分性质,是有条件的,已知三角脉冲信号,求其频谱,例4（,书例3-6,）,求导,解一：用时域积分性质,注意：微积分关系式成立的条件,再求导,逆向应用,求导,再求导,解法二：用时域微分性质,第一步：判断能否逆用,逆向应用,第二步：求出二阶导数的频谱F,2,(w).,第三步：逆向用时域微分性质求f(t)的频谱,F(w),：,其幅频图,解法一：用时域积分性质,解法二：用时域微分性质,思考：,2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法？,1、本例两种方法中哪种更简单？,解法三,：,应用时域卷积定理,至于微分几次要视实际情况来定,2、逆向应用两性质的思想是相同的：,1、正向应用时：,直接套用公式，没有要注意的问题,3、时域微分性质比时域积分性质方便,即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数的傅氏变换,时域积分和时域微分两性质的比较：,证明:略,思考：,9.频域微分特性,求单位斜变信号f(t)=tu(t)的频谱,补充例1：,解：,求信号f(t)=t的频谱,解：,注意“1”的作用,补充例2：,频域积分特性：,（用的少）,10.帕塞瓦尔定理（Parserval定理）,（补充）,（能量守恒）,（功率守恒）,能量谱：,功率谱：,功率谱仅与幅度谱有关，,与相位谱无关,。,能量谱仅与幅度谱有关，,与相位谱无关,。,对能量有限信号:,