圆的内接四边形

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,圆内接四边形的性质与判定定理,C,O,D,B,A,圆周角定理：,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆心角定理,：,圆心角的度数等于它所对弧的度数,推论,：在,同圆或等圆中，,同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等,推论,：,半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，,的圆周角所对的弦是直径,例,2,如图，,AB,与,CD,相交于圆内一点,P,求证：,的度数与 的度数和的一半等于,APD,的度数,D,A,B,P,C,E,分析：由于,APD,既不是,圆心角,，也不是,圆周角,，为此我们需要构造一个与,APD,相等的圆心角或圆周角，以便利用定理,证明：如图，过点,C,作,CE/AB,交圆于,E,，则有,APD,C.,O,A,C,D,E,B,A,B,C,O,O,C,A,B,D,A,B,C,F,E,D,O,定义：,如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做,圆内接多边形,这个圆叫做,多边形的外接圆,.,一 定理的探究,思考,:,探究：,观察下图，这组图中的四边形都内接于圆,你能发现这些四边形的共同特征吗？,特殊到一般的方法,!,（,1,） 任意三角形都有外接圆吗？,那么任意四边形有外接圆吗,?,（,3,）任意矩形是否有外接圆,?,（,2,）一般地,任意四边形都有外接圆吗,?,C,O,D,B,A,1.,如图：圆内接四边形,ABCD,中，,弧,BCD,和弧,BAD,所对的圆心角的,和,是周角,.,A,C,180,同理,B,D,180,2,圆内接四边形的性质定理,圆内接四边形的,性质定理,：,圆的内接四边形的对角互补,2.,圆内接四边形的性质定理,C,O.,D,B,A,E,圆内接四边形的,性质定理,2,：,圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,圆内接四边形的,性质定理,：,圆的内接四边形的对角互补,圆内接四边形的,性质定理,2,：,圆内接四边形的外角等于,它的内角的对角,3,四边形存在外接圆的判定定理,O,C,A,B,D,E,已知,：四边形,ABCD,中，,B+D=180,求证,：,A,、,B,、,C,、,D,在同一圆周上（简称四点共圆）,.,O,C,A,B,D,分析：,不在同一直线上的三点确定一个圆,经过,A,、,B,、,C,三点作,O,，,如果能够由条件得到,O,过点,D,，那么就证明了命题,显然，,O,与点,D,有且只有三种位置关系,:,(1),点,D,在圆外；,(2),点,D,在圆内；,(3),点,D,在圆上,只要证明在假设条件下只有,(3),成立，也就证明了命题,O,C,A,B,D,O,C,A,B,D,分类讨论思想,反证法,3,四边形存在外接圆的判定定理,O,C,A,B,D,E,O,C,A,B,D,E,(1),如果点,D,在,O,的外部设,E,是,AD,与圆周的交点，连接,EC,，则有,AEC+B=180.,由题设,B+D=180,可得,D=AEC,这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点,D,不可能在,O,的外部,（,2,）如果点,D,在,O,的内部显然,AD,的延长线必定与圆相交，设交点为,E,，连接,EC,，则有,E+B=180.,由题设,B+ADC=180,可得,E=ADC,这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点,D,不可能在,O,的内部,证明,：,(,分类讨论思想及反证法,),综上所述，,点,D,只能在圆周上，,即,A,、,B,、,C,、,D,四点共圆,圆内接四边形,判定定理,：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆,说明：,在此判定定理的证明中，用到了,分类讨论的思想,和,反证法,又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为,穷举法,于是,圆内接四边形判定定理的,推论,：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,A,B,C,D,O,E,O,C,A,B,D,应用格式：,在四边形,ABCD,中，,A+C=180,四点,A,B,C,D,共圆,应用格式：,在四边形,ABCD,中，,A=,DCE,四点,A,B,C,D,共圆,3,四边形存在外接圆的判定定理,1,、如图，四边形,ABCD,为,O,的,内接四边形，已知,BOD=100,则,BAD=,BCD=,.,练习 ：,A,B,C,D,O,2,、圆内接四边形,ABCD,中,A:B:C=2:3:4,则,A= B= C= D=,50,130,60,90,120,90,3,、如图，四边形,ABCD,内接于,O,，,DCE=75,，则,BOD=,150,A,B,C,D,O,E,设,A=2x,则,C=4x,. A+C=,180, x=30.,二 定理的应用,例,1,：如图,O,1,与,O,2,都经过,A,、,B,两点,.,经过点,A,的直线,CD,与,O,1,交于点,C,与,O,2,交于点,D.,经过点,B,的直线,EF,与,O,1,交于点,E,与,O,2,交于点,F.,求证：,CEDF.,O,O,2,F,A,B,E,C,D,分析：只要证明同旁内角互补即可！并利用圆内接四边形的性质定理,证明：连接,AB,四边形,ABEC,是,O,1,的内接四边形，,BAD,E,又,四边形,ABFD,是,O,2,的内接四边形，, BAD+F=180, E+F=180, CE/DF,变式,1,：,如图，,O,1,和,O,2,都经过,A,、,B,两点过,A,点的直线,CD,与,O,1,交于点,C,，与,O,2,交于点,D,过,B,点的直线,EF,与,O,1,交于点,E,，与,O,2,交于点,F,求证：,CE/DF.,E,D,C,F,A,B,O,1,O,2,变式,2:,如图,O,1,和,O,2,有两个公共点,A,B,过,A,B,两点的直线分别交,O,1,于,C,、,E,交,O,2,于,D,、,F,，且,CDEF,求证：,CE=DF,C,E,A,B,D,F,O,1,O,2,由例,1,可知,:CE/DF,又,CD/EF, DCEF,为平行四边形,CE=DF.,例,.,如图,CF,是,ABC,的,AB,边上的高,FPBC,FQ,AC.,求证,: A,、,B,、,P,、,Q,四点共圆,FPBC,FQ,AC,，,FQA,FPC,证明：,连接,PQ,在四边形,QFPC,中，,Q,、,F,、,P,、,C,四点共圆,QFC,QPC,又,CF,AB,，,QFC,QFA,90,而,A,QFA,90,QFC,A,QPC,A,A,、,B,、,P,、,Q,四点共圆,C,Q,P,B,F,A,1,、,(1),圆内接平行四边形一定是,形,.,(2),圆内接梯形一定是,形,.,(3),圆内接菱形一定是,形,.,矩,等腰梯,正方,练习,2,：,2.,如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆,D,C,B,A,已知：如图，四边形,ABCD,中，,ADB=ACB.,求证,: A,、,B,、,C,、,D,四点共圆,分析,:,要用圆内接四边形,判定定理,或,推论,无法找到足够的条件,即直接方法不易证明,于是仿照,判定定理,的证明用,反证法,.,D,C,B,A,D,C,B,A,E,D,C,B,A,E,已知：如图，四边形,ABCD,中，,ADB=ACB.,求证,: A,、,B,、,C,、,D,四点共圆,.,证明：由三点,A,、,B,、,D,可以确定一个圆，设该圆为,O,(1),如果点,C,在,O,的外部,.,连接,BC,与圆交于点,E,则,ADB=AEB. ADB=ACB,ACB=AEB,与,AEBACB,相,矛盾,故点不可能在圆外,(,),如果点,C,在,O,的内部,.,延长,BC,与圆交于点,E,连接,AE.,则,ADB=AEB. ADB=ACB,ACB=AEB,与,ACBAEB,相,矛盾,故点不可能在圆内,综合,(1),(2),可知，点,C,只能在圆上即,A,、,B,、,C,、,D,四点共圆,课堂小结,:,1,圆内接四边形的性质,3,、解题时应注意两点：,（,1,）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角的位置，不要受背景的干扰,.,（,2,）证题时，常需添辅助线,-,两圆共有一条弦，构造圆内接四边形,.,4,、思想和方法,:,分类讨论思想,反证法,.,2,圆内接四边形的判定,