变异函数及结构分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,地统计学的工具,第四章 变异函数及结构分析,一、协方差函数的计算公式,第一节 协方差函数和变异函数的性质,设区域化变量,Z(x),满足,(,准,),二阶平稳假设,，,h,为两样本点空间分隔距离，,Z(x,i,),与,Z(x,i,+h),分别是,Z(x),在空间位置,x,i,和,x,i,+h,上的观测值,(,i,=1,2,N(h),则计算协方差的公式为：,协方差函数曲线图：以,h,为横坐标，,C,#,(h),为纵坐标作图,二、协方差函数的性质,区域化变量,Z(x),在二阶平稳假设下，其协方差函数存在且平稳，定义为,1.C(0) = VarZ(x) 0,，即先验方差不能小于零,2.C(h) =C(-h),，即,C(h),对,h=0,的直线,对称,，是一个偶函数,证：,令,x-h=y,，则,x=y+h,，带入上式得,图形特征及含义,3.|C(h)| C(0),，即协方差函数绝对值小于等于先验方差,证：,4.|h|,时,C(h) 0,，或写作,C() =0,，即当空间距离很大时，协方差函数值很小,意义,(,空间局限性,),：当距离很大时，,Z(x),和,Z(x+h),之间的线性相关基本不存在,5.C(h),必须是一个非负定函数，由,C(x,i,-x,j,）构成的协方差函数矩阵必须是非负定矩阵,正定条件,(positive definite condition),区域化变量,Z(x),二阶平稳，其数学期望为,m,，协方差为,C(h),变异函数为,(h),，令,Y,是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：,较难理解,则由,C(x,i,-x,j,）,(i,j=1,2n),构成的协方差函数矩阵,是非负定矩阵,，即,C(h),为非负定函数,二阶平稳区域化变量的协方差函数是有,条件,的,三、实验,(,经验,),变异函数,(experimental variogram),的计算公式,设区域化变量,Z(x),满足,(,准,),二阶平稳条件或,(,准,),本征假设,，,h,为两样本点空间分隔距离，,Z(x,i,),与,Z(x,i,+h),分别是,Z(x),在空间位置,x,i,和,x,i,+h,上的观测值,(,i,=1,2,N(h),则计算实验变异函数的公式为：,变异函数曲线图：以,h,为横坐标，,#,(h),为纵坐标作图,变异函数计算实例,（,1,）一维变异函数的计算,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,7,x,8,x,9,x,10,4,3,4,5 7 9 7 8 7 7,以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔距离,h=1,米，计算,#,(h),两方面理解：变异性的理解与相关性的理解,作业：,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,7,x,8,2,4,3,1 5 3 6 4,以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔距离,h=1,米，计算,#,(1),#,(2),#,(3),（,2,）二维变异函数的计算,下图为正方形网格状的采样数据，,*,号处为无数据点，点间距离,h,为,100,米，请分别计算,南北、东西、西北和东南,方向上的变异函数值。,西北和东南方向上的变异函数值的计算，注意分隔距离,h,的确定和样本,数据对,的查找,作业：,下图为正方形网格状的采样数据，网格交叉空白处为无数据点，点间距离,h,为,a,米，请分别计算南北方向,#,(a),西北,东南方向上,#,( a),。,四、变异函数的性质,区域化变量,Z(x),满足二阶平稳或本征假设条件，则变异函数存在且平稳，计算公式为,1.,(0) = 0,，即在,h=0,时，变异函数为零,2.,(h) =,(-h),，即,(h),对,h=0,的直线对称，是一个偶函数,3.,(h) 0,即研究现象的变异性只能大于或等于零,4.|h|,时,(h) C(0),，或写作,() =C(0),，即当空间距离很大时，变异函数值接近先验方差,5.-,(h),必须是一个,条件,非负定函数，即由,-,(x,i,-x,j,),构成的变异函数矩阵必须是,条件,非负定矩阵。,区域化变量,Z(x),二阶平稳，其数学期望为,m,，协方差为,C(h),变异函数为,(h),，令,Y,是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：,区域化变量,Z(x),的 变异函数,(h),是有条件的，即需满足条件非负定条件,五、协方差函数与变异函数的关系,协方差函数和变异函数的曲线图,问题：为什么只画出了,h0,的关系图？,当,h,足够大,(,即存在,a0,，当,ha),时，可以使,C(h) =0,(h)=C(0),a,称为,变程,(range),1,、,变程,a,表示区域化变量从存在空间相关状态,(,当,|h| a,时,),的,转折点,2,、,变程,a,的大小反映区域化变量影响,范围,的大小，或说反映该变量自相关范围的大小。也可说变程,a,是区域化变量,空间变异尺度,或,空间自相关尺度,变程,a,的意义：,第二节 变异函数的功能,一、变异函数通过“变程”反映变量的影响范围,变异函数的跃迁现象,变异函数,(h),是一个单调递增函数，当,h,超过某一数值,(,变程,a),后，,(h),不再继续单调地增大，而往往稳定在一个,极限值,(),附近，这种现象称为“,跃迁现象,”,(transition phenomena),(),极限值称为,基台值,(sill),即,C(0)【,二阶平稳条件,】,，基台值的大小反映,变量变化幅度的大小,凡具有一个,变程,a,和一个,基台值,的变异函数，称为,“跃迁型”的变异函数,“变程”反映变量的影响范围,(,图示）,二、不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各向异性,变异函数表示的各向异性,如果在各个方向上区域化变量的变异性相同或相近，则称区域化变量是,各向同性,的，反之称为,各向异性,通过作出,各个方向上的变异函数图,，并放到一起来比较、分析、研究，就可以确定区域化变量的各向异性（包括有无各向异性，及各向异性的类型等）,三、块金常数,C,0,的大小可反映区域化变量的随机性大小,变异函数的块金效应,当,h=0,时，变异函数,(h)0,，而等于一个常数,C,0,，这种现象称为“块金效应”,(nugget effect),C,0,称为,块金常数,或块金方差,(nugget variance),块金效应的图形表示,“块金效应”,主要有两种来源：,1,、区域化变量在小于抽样尺度,h,时所具有的变异性,2,、采样分析误差,当,样点间的距离大于,微域结构的范围，或样点的大小,大于,微域结构的范围就会出现块金效应（,Webester,，,1985,）,四、变异函数在,原点处的性状,可反映区域化变量的空间连续性,变异函数在原点处的性状主要有五种类型，每种类型反映了变量的不同程度的空间连续性,1,、抛物线型（,parabolic type,）,当,|h|0,时,(h)A|h|,2,(A,为常数,),，即变异函数曲线在原点处趋向一条,抛物线,，反映区域化变量是具有,高度连续性,的，如矿层厚度,2,、线性型（,linear type,）,当,|h|0,时,(h)A|h|,(A,为常数,),，即变异函数曲线在原点处趋向一条,直线,，或说在原点处有斜向的切线存在，反映区域化变量是具有平均的连续性，如金属品位,3,、间断型（,discontinuous type,）,当,|h|0,时,(h)C,0,，即变异函数曲线在原点处,间断,，说明块金效应存在，又称“,块金效应型,”，反映区域化变量的连续性很差，但当,h,增大时，,(h),又变的较为连续了，如金品位,4,、随机型（,random type,）,这种变异函数可看成,具有基台值,C,0,和无穷小变程,a,的跃迁型变异函数,，则无论,h,多小，,h,总大于,a,，故,Z(x),与,Z(x+h),总是互不相关,又称,纯块金效应型,，反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况，则本质上此区域化变量为,普通随机变量,此时，,C,0,=C(0),5,、过渡型：介于抛物线型和随机型间,当,|h|0,时,(h)C,0,，即有块金效应；,当,|h|=a,时,(a)=C(0),，即有,基台值,(C,0,+C),和变程,a,C,称为“拱高”,过渡型是实际研究工作中最常遇到的一种类型,第三节 变异函数的理论模型,思考,：是否有了采样数据及变异函数计算公式就可以获知任意距离,h,的区域化变量变异性？,设,Z(,x,),具有,各向同性的变异函数,(h),，则常见的变异函数模型如下：,变异函数的,理论模型,有基台值模型,无基台值模型,可以有或无基台值模型：孔穴效应模型,球状模型、指数模型,高斯模型,线性有基台模型,纯块金效应模型,幂函数模型,对数模型,线性无基台模型,一、有基台值模型,1,、球状模型（,spherical model,）,若模型满足,二阶平稳假设,，且有有限先验方差，,(h),值随,h,的变大而增大，当,h,达一定值,(ha),时，,(h),达到一定值,基台值，则称此类模型为,有基台值模型,式中：,C,0,为块金常数，,(C,0,+C),为基台值，,C,为拱高，,a,为变程,当,C,0,=0,，,C=1,，称为,标准球状模型,，其图形为：,原点处切线的斜率为,3/2a,与基台值线交点的横坐标为,2a/3,球状模型是地统计学应用,最广的理论模型,，许多区域化变量的理论模型都可以用球状模型来拟合,2,、指数模型（,exponential model,）,式中：,C,0,，,C,意义同前，但,a,不是变程,当,C,0,=0,，,C=1,，称为,标准指数模型,，其图形为：,由于,1-e,-3,=1-0.05=0.951,，则变程为,3a,3,、高斯模型（,gaussian model,）,式中：,C,0,，,C,意义同前，但,a,不是变程,由于,1-e,-3,=1-0.05=0.951,，则变程为,3,a,当,C,0,=0,，,C=1,，称为,标准高斯函数模型,，其图形为：,模型,通过原点切线与基台值线交点的横坐标,变程,原点处的性状,球状,2a/3,a,直线,指数,a,3a,直线,高斯,无交点,3,a,抛物线,三种模型的比较,4,、线性有基台值模型（,linear with sill model,）,式中：,C,0,，,C,意义同前，,A,为常数，表示直线的斜率，变程为,a,5,、纯块金效应模型（,pure nugget effect model,）,此时，,C,0,=C(0),此种模型意味着区域化变量为随机分布，样点间的协方差函数对于所有距离,h,均等于,0,，即变量不存在空间相关性,二、无基台值模型,1,、幂函数模型（,power model,）,若与模型相应的区域化变量,不满足,二阶平稳假设，仅满足本征假设，,(h),值随,h,的变大而增大，但不能达到一定值，即,无基台值,，则称此类模型为,无基台值模型,当改变参数,时，可以表示原点处的各种性状,2,、线性无基台值模型（,linear without sill model,）,3,、对数模型（,power model,）,三、孔穴效应模型,(,hole effect model,),当变异函数,(h),在大于一定距离后，并非单调递增，而具有一定周期波动，此种模型称为孔穴效应模型,有基台值,无基台值,第四节 变异函数的结构分析,一、结构分析、套合结构概念,采样数据,计算,#,(h),试验变异函数曲线,对区域化变量进行分析,合适的理论模型,实际中,区域化变量的变化性很复杂：,(1),可能在,不同方向,上有不同的变异性；,(2),在同一方向上包含,不同尺度,上的多层次的变异性,这么复杂！？,矿床或矿体的变异性往往由多种原因引起,采样、样品制备及分析等过程所产生的误差,原因,矿物成分的变化，如金矿等品位变化剧烈的矿床上尤为明显,矿层与夹层的交替变化,矿床分布引起的变异,0,1,n cm,米至百米,公里,尺度,不同原因引起的变异特性，其变异尺度的大小不同,显然，大尺度的变异总是,包含,着小尺度的变异，小尺度的变异在大尺度变异曲线上只能作为“,块金效应,”出现,土壤的空间变异性与土壤母质、气候、水文、地形和生物等因素相关,Z(,x,),Z(,x+h,）,h,h0,h1m,h100m,取样和测定误差,+,其它因素，如水分,+,地形影响,合适的理论模型,！？,结构分析,结构分析,:,就是,构造,一个,变异函数模型,对于全部有效结构信息作定量化的概括，以表征区域化变量的主要特征。,结构分析的,主要方法,:,套合结构,套合结构,(,nested structure,):,就是把分别出现在不同距离,h,上和,(,或）不同方向,上同时起作用的变异性组合起来,套合结构表达式,:,套和结构可以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表一种特定尺度上的变异性，表达式为：,i,(h),可以是相同或不同的理论模型,二、单一方向上的套合,设区域化变量,Z(x),在某一方向上的变异性是由,0,(h),、,1,(h),和,2,(h),组成,微观尺度，纯块金效应模型,变程为,a,1,的球状模型,变程为,a,2,的球状模型,(a,2, a,1,),作业：,设区域化变量,Z(x),在某一方向上的变异性是由,0,(h),、,1,(h),和,2,(h),组成，请求出其套合结构表达式并写出计算过程,微观尺度，纯块金效应模型,变程为,a,的球状模型,变程为,3a,的指数模型,