隐函数求导与参数方程求导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,蚌埠学院 高等数学,第四节 隐函数求导与参数方程求导,显函数:,因变量是由其自变量的某个算式来表示.,比如：,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题2,:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,问题1,:隐函数是否可导?,例如,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化.,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),解,例,2.,解,例,3.,求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,对数求导法,1.方法:,2,.适用范围:,先在 两边取对数,然后利用隐函,数的求导方法求出,y,的导数,.,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.,例如幂指函数：,两端对,x,求导：,例,3.,解,等式两边取对数得,也可这样求:,例,4.,解,等式两边取对数得,另例,两边取对数,两边对,x,求导,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(,此时看成,x,是,y,的函数,),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,?,例,4.,设,且,求,已知,解:,练习:,P111,题,8(1),解:,注意:,例,5.,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向.,解:,先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(即轨迹的切线方向):,设,为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度的方向,例,6.,设由方程,确定函数,求,解:,方程组两边对,t,求导,得,故,另例,.,解,所求切线方程为,另例.,解,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例,7.,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m,时,思考题:,当气球升至,500 m,时停住,有一观测者以,100 mmin,的速率向气球出发点走来,当距离为,500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对,t,求导,已知,求,试求当容器内水,例8.,有一底半径为,R,cm,高为,h,cm,的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:,设时刻,t,容器内水面高度为,x,水的,两边对,t,求导,而,故,体积为,V,则,内容小结,1.,隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.,对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.,参数方程求导法,极坐标方程求导,4.,相关变化率问题,列出依赖于,t,的相关变量关系式,对,t,求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考与练习,1.,求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:,化为参数方程,当,时对应点,斜率,切线方程为,2.,设,求,提示:,分别用对数微分法求,答案:,3.,设,由方程,确定,解:,方程两边对,x,求导,得,再求导,得,当,时,故由,得,再代入,得,求,作业,P110 1(1),(4);2;3(3),(4);,4(2),(4);5(2);6;7(2);,8(2),(4);9(2);10;12,