二次曲线的仿射理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.6,二次曲线的仿射理论,一、二阶曲线与无穷远直线的关系,二、二阶曲线的中心,三、直径与共轭直径,双曲型,抛物型,椭圆型,相异的实点,重合的实点,共轭的虚点,l,=,A,33,的符号仿射不变.,有心,：(,A,31,A,32,A,33,);,无心,：(,A,31,A,32,0)或(,a,12,a,11,0)或(,a,22,a,12,0).,无穷远直线的极点称为中心.,对非退化二阶曲线讨论：中心、直径与共轭直径、渐近线,4.6,二次曲线的仿射理论,三、直径与共轭直径,1.定义,(1).直径,仿射定义,解几定义,无穷远点,P,的有穷远极线(过中心的,通常直线,).,一组平行弦中点的轨迹.,(,XY,ZP,)=,1,(2).共轭直径,直径,AB,的共轭直径为,AB,上无穷远点,P,的极线,EF,(相互通过对方极点的两直径).,直径,AB,的共轭直径为平行于,AB,的弦的中点轨迹,EF,.,(,XY,ZP,)=,1,仿射定义,解几定义,(3).共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.,l,不是任何二阶曲线的直径！,4.6,二次曲线的仿射理论,三、直径与共轭直径,1.定义,2.性质,(1).有心二阶曲线,(i),的任一对共轭直径与,l,一起,构成,的一个自极三点形.,(ii),的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,且平行于共轭直径与,交点处的两切线.,(2).抛物线,(i),的直径相互平行(,l,不是抛物线的直径).,(ii),的任一直径的极点为其与,有穷远交点处切线上的无穷远点.,(iii),的任一直径平分其与,有穷远交点处切线平行的弦.,(,XY,ZP,)=,1.,(iv),抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向.,4.6,二次曲线的仿射理论,三、直径与共轭直径,1.定义,2.性质,3.直径的方程,(1).有心二阶曲线,(i),直径的方程.因为直径是以,的中心为束心的线束中的直线.以两特殊直径参数表示.取两无穷远点(1,0,0),(0,1,0),其极线(对应的直径)方程为,即,从而任一直径,l,的方程为,注,:,k,的几何意义.(4.37)表示的直径,l,方程可改写为：,这说明,l,为(1,k,0)的极线.而(1,k,0)是,l,的共轭直径上的无穷远点,从而,(4.37)中的参数,k,为直径,l,的共轭方向(共轭直径的斜率).,4.6,二次曲线的仿射理论,三、直径与共轭直径,1.定义,2.性质,3.直径的方程,(1).有心二阶曲线,(ii),两直径共轭的条件.,设直径,的共轭直径为,l,.,则,l,为,l,上的无穷远点(,a,12,+,ka,22,(,a,11,+,ka,12,),0)的极线.从而,l,的方程为,即,其中,为,l,的斜率,即,从而,两直径共轭,两直径的斜率满足对合方程.,性质,.在以有心二阶曲线,的中心为束心的线束中,直径与共轭直径的对应是一个对合.,三、直径与共轭直径,1.定义,2.性质,3.直径的方程,(1).有心二阶曲线,(2).抛物线,利用中心坐标,可直接写出,的直径方程为,或者,(,a,12,a,11,0)或(,a,22,a,12,0),4.6,二次曲线的仿射理论,四、渐近线,1.,定义,.二阶曲线上无穷远点处的,有穷远切线,称为其,渐近线,.,注,1.,等价定义,：过中心的有穷远切线称为渐近线.,注,2.与渐近线平行的方向称为,渐近方向,.,注,3.,双曲线,椭 圆,有两条,实,虚,渐近线,一对渐近方向；抛物线无渐近线.,从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论.,4.6,二次曲线的仿射理论,4.6,二次曲线的仿射理论,四、渐近线,1.定义,2.性质,(1).渐近线是自共轭的直径.,(2).在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合,的两条不变直线.,(3).有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径.,3.求渐近线方程,设已知有心二阶曲线,求,的渐近线方程.,双曲线,双曲型对合,椭 圆,椭圆型对合,4.6,二次曲线的仿射理论,四、渐近线,3.求渐近线方程,设已知有心二阶曲线,求,的渐近线方程.,法一,.利用对合不变元素.在,中,令,k,=,k,得不变元素方程为,此方程的两根即为渐近线方向.设两根为,k,i,(,i,=1,2),分别代入,即可得两渐近线方程.,评注,：此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线,则,k,i,中应有0或,实际计算时容易丢失一条渐近线.,4.6,二次曲线的仿射理论,四、渐近线,3.求渐近线方程,法二,.利用中心和渐近方向.,评注,：此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式).,这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为,与,l,的交点,从而它们平行于两渐近线,化为非齐次,得,设中心的非齐次坐标为(,).则渐近线的方程为,4.6,二次曲线的仿射理论,四、渐近线,3.求渐近线方程,法三,.利用切线方程.渐近线为过中心的切线,将中心,P,(,A,31,A,32,A,33,)代入,S,pp,S,=,S,2,p,即得渐近线方程.现对此法进行整理,因为,评注,：此法推导繁,实用不繁,因为在做题时,首先判断是否退化,|,a,ij,|已有,再判断是否有心,A,33,也已知,从而,为已知.,由于,P,为中心,所以上式前二项的系数等于0,从而,将中心坐标代入,得,由此又得,从而,过中心的切线(渐近线)方程为,令,得渐近线方程为,今日作业,P.143,2,3,The Class is over.Goodbye!,