正整数指数函数的运算性质

第三章 指数函数和对数函数,理解教材新知,1,正整数指数函数,把握热点考向,应用创新演练,知识点一,知识点二,考点一,考点二,考点三,在初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质解决以下问题：,问题,1,：计算,3,2,3,3,的值,提示：,3,2,3,3,3,5,243.,问题,2,：计算,(2,3,),2,和,(2,2,),3,的值,提示：,(2,3,),2,8,2,64,，,(2,2,),3,4,3,64.,问题,3,：计算,3,5,3,2,的值,提示：,3,5,3,2,3,3,27.,若,a,0,，,b,0,，对于任意正整数,m,，,n,，指数运算有以下性质：,(1),a,m,a,n,；,(2)(,a,m,),n,；,(3)(,a,b,),n,；,a,m,n,a,m,n,(,a,n,),m,a,n,b,n,a,m,n,1,一种产品的利润原来是,a,元，在今后,10,年内，计划使利润每年比上一年增加,20%.,问题,1,：在今后,10,年内，每年的利润是上一年的多少倍？,提示：,1,20%,1.2(,倍,),问题,2,：在今后,10,年内每年的利润,y,随经过年数,x,变化的,函数关系式是什么？,提示：,y,a,1.2,x,.,函数,(,a,0,，,a,1,，,x,N,),叫作正整数指数函数，其中,x,是自变量，定义域是正整数集,N,.,y,a,x,1,正整数指数幂的运算性质是学习指数函数的基础，在使用时，注意,(,ab,),n,与,a,n,a,m,等的含义，才能正确地运算,2,正整数指数函数是形式定义，与幂函数的定义既有联系又有区别虽都具有幂的形式，但指数函数的底数为常数，指数是自变量,x,.,只有符合,y,a,x,(,a,0,，且,a,1,，,x,N,),这种形式的函数才是正整数指数函数,1,下列各式运算错误的是,(,),A,(,a,4,b,2,)(,ab,2,),3,a,7,b,8,B,(,a,2,b,3,),3,(,ab,2,),3,a,3,b,3,C,(,a,3,),2,(,b,2,),3,a,6,b,6,D,(,a,3,),2,(,b,2,),3,3,a,18,b,18,解析：,A,中，原式,a,7,b,8,；,B,中，原式,a,3,b,3,；,C,中，,原式,a,6,b,6,；,D,中，原式,a,18,b,18,.,答案：,C,2,计算：,(2,a,3,b,2,)(,6,a,2,b,4,)(,3,a,1,b,5,),解：,原式,2(,6)(,3),a,3,2,1,b,2,4,5,4,a,6,b,1,.,一点通,正整数指数函数的图像特点：,(1),正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的,(2),当,0,a,1,时，,y,a,x,(,x,N,),是增函数,答案：,C,例,3,(12,分,),某林区,2011,年木材蓄积,200,万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到,5%.,(1),若经过,x,年后，该林区的木材蓄积量为,y,万立方米，求,y,f,(,x,),的表达式，并求此函数的定义域；,(2),求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到,300,万立方米？,思路点拨,根据增长率为,5%,，可分别列出经过,1,年、,2,年的木材蓄积量，然后列出,y,f,(,x,),的表达式，第,(2),问可根据正整数指数函数的图像来求,(2),作函数,y,f,(,x,),200(1,5%),x,(,x,0),图像见下图，,x,0,1,2,3,y,200,210,220.5,231.5,(8,分,),作直线,y,300,，与函数,y,200(1,5%),x,的图像交于,A,点，则,A,(,x,0,300),，,A,点的横坐标,x,0,的值就是函数值,y,300,时,(,木材蓄积量为,300,万,m,3,时,),所经过的时间,x,年的值,因为,8,x,0,9,，则取,x,9(,计划留有余地，取过剩近似值,),即经过,9,年后，林区的木材蓄积量能达到,300,万,m,3,.,(12,分,),一点通,1.,人口、工地、复利、环境、细胞分裂等方面的问题是近几年高考的热点，应特别关注，涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式,y,a,(1,),x,来计算，其中,a,为初始值，,为变化率，,x,为自变量，,x,N,，,y,为,x,年变化后的函数值；,2.,作函数的图像应先列表再作出图像，从左向右看，若图像上升，则函数是增函数；若图像下降，则函数是减函数，其实可总结出当,a,0,，,0,时，,y,a,(1,),x,是增函数,5,农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，,2007,年,某地区农民人均收入为,3 150,元,(,其中工资收入为,1 800,元，,其他收入为,1 350,元,),，预计该地区自,2008,年起的,5,年内，,农民的工资收入将以每年,6%,的年增长率增长，其他收,入每年增加,160,元根据以上数据，,2012,年该地区农民,人均收入介于,(,),A,4 200,元,4 400,元,B,4 400,元,4 600,元,C,4 600,元,4 800,元,D,4 800,元,5 000,元,解析：,设自,2008,年起的第,n,年农民的工资收入为,y,1 800,(1,6%),n,.,其他收入为,y,2,1 350,160,n,，,则第,n,年的收入,y,y,1,y,2,1 800(1,6%),n,1 350,160,n,，,所以,2012,年农民人均收入为,1 800(1,6%),5,1 350,16054 558.8(,元,),答案：,B,6,已知镭每经过,100,年后剩留原来质量的,95.76%,，设质量,为,20,克的镭经过,x,百年后剩留量为,y,克,(,其中,x,N,),，求,y,与,x,之间的函数关系式，并求出经过,1 000,年后镭的质,量,(,可以用计算器,),解：,镭原来质量为,20,克；,100,年后镭的质量为,2095.76%(,克,),；,200,年后镭的质量为,20(95.76%),2,(,克,),；,300,年后镭的质量为,20(95.76%),3,(,克,),；,x,百年后镭的质量为,20(95.76%),x,(,克,),y,与,x,之间的函数关系式为,y,20(95.76%),x,(,x,N,),经过,1 000,年,(,即,x,10),后镭的质量为,y,20(95.76%),10,12.97(,克,),1,正整数指数幂的运算应注意以下几点：,(1),同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；,(2),正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分；,(3),要注意运算律的逆用，如,a,mn,(,a,m,),n,(,a,n,),m,；,(4),运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂,2,形如,y,N,(1,P,),x,的函数叫做指数型函数在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为,N,，增长率为,P,，则对于时间,x,的总产值,y,N,(1,P,),x,.,3,正整数指数函数,y,a,x,(,x,N,),从形式上与幂函数形式上的对比,x,a,(,),形式,指数函数,y,a,x,指数,底数,幂,幂函数,y,x,底数,指数,幂,点击下列图片进入应用创新演练,