4.1复数的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1 复数的概念,蒙山中学 数学组 黄超云,无实根,一、复习引入,自然数,分数,有理数,无理数,实数,分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。,负数,整数,分数,负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。,无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。,在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？,一复习引入,问,5,：引入一个新数,c,？,为了,解决这个矛盾，,引入一个新数,c,。,因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，用,“,i,”,来表示这个新数。,问,6,：引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，,虚数单位,i,应满足什么条件呢？,二新课复数的概念,问,7,：根据这种规定，数的范围又扩充了，,会出现什么形式的数呢？,二新课复数的概念,相关概念：,复数,a,+,bi,(,a,b,R,),由两部分组成,，,实数,a,与,b,分别称为复数,a,+,bi,的,实部,与,虚部,，,1,与,i,分别是,实数单位,和,虚数单位,，,当,b,=0,时,，,a,+,bi,就是,实数,，,当,b,0,时,，,a,+,bi,是,虚数,，,其中,a,=0,且,b,0,时称为,纯虚数。,二新课复数的概念,i,为,-1,的一个,、,-1,的另一个,;,一般地，,a,(,a,0),的平方根为,、,平方根,平方根为,-,i,-,a,(,a,0),的平方根为,复数,z,=,a+bi,(,a,、,b,R,),实数,小数,(,b,=0),有理数,无理数,分数,正,分数,负分数,零,不,循环小数,虚数,(,b,0),特别的当,a,=,0,时,纯虚数,a,=0,是,z,=,a+bi,(,a,、,b,R,),为纯虚数的,条件,.,必要但不充分,二新课复数的概念,二新课例题剖析,问,9,：两个复数之间可以比较大小吗？,两个不全是实数的复数之间是不能比较大小的，但若它们的实部与虚部分别相等，我们就说这两个,复数相等,。,二新课复数的概念,例,2.,实数,m,取什么数值时，复数,z,=,m,+1+(,m,i,）,是：（,1,）实数？ （,2,）虚数？（,3,）纯虚数？,解：复数,z,=,m,+1+(,m,1),i,中，因为,m,R,，所以,m,+1,，,m,1,都是实数，它们分别是,z,的实部和虚部，, （,1,）,m,=1,时，,z,是实数；,（,2,）,m,1,时，,z,是虚数；,（,3,）当 时，即,m,=,1,时，,z,是纯虚数；,二新课例题剖析,x,o,1,实数可以用,数轴,上的点来表示。,一一对应,规定了正方向，,直线,数轴,原点,，,单位长度,实数,数轴,上的点,(,形,),(,数,),(,几何模型,),二新课复数的概念,问,10,：,如何建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的联系？,复数,z=,a+bi,有序实数对,(a,b),直角坐标系中的点,Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x,轴,-,实轴,y,轴,-,虚轴,（数）,（形）,-,复数平面,(,简称,复平面,),一一对应,z=,a+bi,二新课复数的概念,特别注意：,虚轴不包括原点。,复数的一个几何意义,例,3,已知复数,z=(m,2,+m-6)+,(m,2,+m-2)i,在复平,面内所对应的点位于第二象限，求实数,m,允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(,几何问题,),(,代数问题,),一种重要的数学思想：,数形结合思想,二新课例题剖析,实数绝对值的,几何意义,:,能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,|,a,| = |,OA,|,实数,a,在数轴上所对应的点,A,到原点,O,的距离。,x,O,z,=,a,+,b,i,y,|,z,|,= |,OZ,|,复数的绝对值,复数,z=,a,+,b,i,在复平面上对应的点,Z(,a,b,),到原点的距离。,(,复数的模,),的,几何意义,:,Z,(,a,b,),二新课复数的概念,概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。,共轭虚数：虚部不为,0,的共轭复数。,特别地，实数的共轭复数是实数本身。,两个共轭复数,z,z,的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即,z z=|z|,2,=|z|,2,.,一,.,数学知识：,二,.,数学思想：,(1),复数相等,(2),复平面,(3),复数的模,(3),类比思想,(2),数形结合思想,(1),转化思想,三 小结,