概率的统计定义、古典概型

单击此处编辑母版标题样式,一、概率的统计定义,二、古典概型,1.3 概率的定义,三、几何概型,四、概率的公理化定义,1.定义,一、概率的统计定义,2.频率的性质,设,A,是随机试验,E,的任一事件,则,实例,将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做,7 遍,观察正面出现的次数及频率.,试验,序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0,.,502,波动最小,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性,从上述数据可得,(2)抛硬币次数,n,较小时,频率,f,的随机波动幅度较大,但,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性,.即当,n,逐渐增大时频率,f,总是在 0.5 附近摆动,且逐渐稳定于 0.5.,(1)频率有,随机波动性,即对于同样的,n,所得的,f,不一定相同;,实验者,德.摩根,蒲丰,K.皮尔逊,K.皮尔逊,2048,1061,0.5181,4040,2048,0.5069,12000,6019,0.5016,24000,12012,0.5005,重要结论,频率当,n,较小时波动幅度比较大,当,n,逐渐增,大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映,了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的,概率,.,在随机试验中,若事件,A,出现的频率 随,3.定义,则称,p为,事件,A,的概率,记作,P,(,A,)=,p,.,着试验次数,n,的增加,趋于某一常数,p,概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。,1.古典概型定 义,二、古典概型,如果一个随机试验E具有以下特征,1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；,2、每个样本点出现的可能性相同。,则称该随机试验为古典概型。,设试验,E,的样本空间由,n,个样本点构成,A,为,E,的任意一个事件,且包含,m,个样本点,则事,件,A,出现的概率记为:,2.,古典概型中事件概率的计算公式,称此为,概率的古典定义,.,3.,古典概型的基本模型,:,摸球模型,(1),无放回地摸球,问题,1,设袋中有,M,个白球和,N,个黑球,现从袋中无,放回地依次摸出,m+n,个球,求所取球恰好含,m,个白球,n,个黑球的概率,?,样本点总数为,A,所包含,的样本点个数为,解,设,A=,所取球恰好含,m,个白球,n,个黑球,(2),有放回地摸球,问题,2,设袋中有,4,只红球和,6,只黑球,现从袋中有放,回地摸球,3次,求前,2 次摸到,黑球,、,第,3,次摸到红球,的概率,.,解,第1次摸球,10种,第,2,次摸球,10种,第,3,次摸球,10种,6种,第1次摸到黑球,6种,第,2,次摸到黑球,4种,第,3,次摸到红球,样本点总数为,A,所包含,样本点的个数为,4.,古典概型的基本模型,:,球放入杯子模型,(1),杯子容量无限,问题,1,把,4,个球放到,3,个杯子中去,求第1、,2个,杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可,放任意多个球.,4,个球放到,3,个杯子的所有放法,因此第,1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2),每个杯子只能放一个球,问题,2,把,4,个球放到,10,个杯子中去,每个杯子只能,放一个球,求第,1,至第,4,个杯子各放一个球的概率.,解,第,1,至第,4,个杯子各放一个球的概率为,2,o,生日问题,某班有,20,个学生都,是同一年出生的,求有,10,个学生生,日是1月1日,另外,10,个学生生日是,12,月,31,日的概率,.,课堂练习,1,o,分房问题,将张三、李四、王五3人等可能地,分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,5.,古典概型的概率的性质,(1)对于任意事件A,解,6、典型例题,在,N,件产品中抽取,n,件,其中恰有,k,件次品的取法,共有,于是所求的概率为,解,在,N,件产品中抽取,n,件的所有可能取法共有,例 3（分房问题）,有 n 个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在 间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：,(1)某指定 间房中各有一人,;,(2)恰有 间房，其中各有一人；,(3)某指定一间房中恰有 人。,解,先求样本空间中所含样本点的个数。,首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。,(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为,(a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为,(c)某指一间房中恰有m人，可能的分法为,进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为,:,（,1,）,（,2,）,（,3,）,上述分房问题中，若令 则可演化为,生日问题.全班学生,30,人，,(1)某指定,30,天，每位学生生日各占一天的概率；,(2)全班学生生日各不相同的概率；,(3)全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。,利用上述结论可得到概率分别为,:,由（,2,）立刻得出，全班,30,人至少有,2,人生日相同的概率等于10.294=0.706,这个值大于,70%,。,（1,）,（,2）,（,3,）,例,4,某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知,所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是,否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有,规定,且各来访者在一周的任一天,中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,1,2,3,4,12,7,7,7,7,7,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,1,2,3,4,12,2,2,2,2,2,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了,几何概型,.由此形成了确定概率的另一方法,几何方法,.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本,点有限,如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了.,三、几何概型,定义,定义,当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量,(,长度,面积,体积,),相同的子区域是等可能的,则事件,A,的概率可定义为,几何概型的概率的性质,(1)对任一事件,A,有,那末,两人会面的充要条件为,例,1,甲、乙两人相约在 0 到,T,这段时间内,在预,定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间,t,(,t,0)的一些平行直,线,现向此平面任意投掷一根长为,b,(,a,)的针,试求,针与任一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离,a,=1),3.1795,859,2520,0.5419,1925,Reina,3.1415929,1808,3408,0.83,1901,Lazzerini,3.1595,489,1030,0.75,1884,Fox,3.137,382,600,1.0,1860,De Morgan,3.1554,1218,3204,0.6,1855,Smith,3.1596,2532,5000,0.8,1850,Wolf,相交次数,投掷次数,针长,时间,试验者,利用,蒙特卡罗,(Monte-Carlo),法,进行计算机模拟,1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展.,四、概率的公理化定义,概率的可列可加性,定义,例,1,在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的,纪念章,任选3个记录其纪念章的号码.,(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概,率.,解,(1)总的选法种数为,最小号码为5的选法种数为,备份题,(2)最大号码为5的选法种数为,故最大号码为5的概率为,故小号码为5的概率为,例2,将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去,试求每,个盒子至多有一只球的概率.,解,将4只球随机地放入6个盒子中去,共有6,4,种,放法.,每个盒子中至多放一只球共有 种不同放,法.,因而所求的概率为,例,3,将,15,名新生随机地平均分配到三个班级中,去,这,15,名新生中有,3,名是优秀生,.,问,(1),每一个班,级各分配到一名优秀生的概率是多少,?(2)3,名优,秀生分配在同一个班级的概率是多少,?,解,15,名新生平均分配到三个班级中的分法总数,:,(1),每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3,名优秀生分配在同一个班级的分法共有,3种,对于每一种分法,其余,12,名新生的分法有,因此3,名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,例,4,假设每人的生日在一年 365 天中的任一天,是等可能的,即都等于 1/365,求 64 个人中至少,有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,我们利用软件包进行数值计算.,