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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六专题 万有引力定律与天体运动,解题知识与方法研究,疑难题解答研究,例题4（星球运动的阻力）,例题1（天体轨道的判定）,例题3（卫星“怪像”）,例题5（飞船着陆问题）,例题6（飞船和宇航站对接问题）,例题2（利用万有引力作用下的质点,运动求椭圆曲率半径）,一、对宇宙中复杂的天体受力运动的,简化,二、引力问题的基本运动方程,三、行星绕日运动的轨道与能量,例题7（双星问题）,一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化,（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.,（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：,a、可将该两天体作为二体问题处理.,b、,施力天体由于某些原因,（,如质量相对很大,）,在某惯性系中可认为几乎不动，这,时问题很简单,（我们通常讨论的就是这种情况）,.,二、引力问题的基本动力学方程,如图，行星,m,在太阳,M,的有心引力作用下运动.,行星的横向加速度 等于零.,有径向动力学方程,解题知识与方法研究,在太阳惯性参照系中，,由牛顿运动定律和引力定律,此式变化后即得开普勒第二定律：,表明：,开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现,.,开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将,适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动,.,又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机,械能守恒,当然，此方程也不限于,行星做椭圆轨道运动！,因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量,守恒,三、天体绕日运动的轨道与能量,根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动,量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下,的绕日运动的天体的轨道方程：,轨道方程为一圆锥曲线方程：,（1）,（即开普勒第一定律）；,总能量为：,（2）,总能量为：,（3）,总能量为：,自行计算出上述三个能量值！,（能否不用高等数学？）,例1（天体轨道的判定）,如图，太阳系中星体A做半径为,R,1,的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为,R,2,=2,R,1,，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.,解,计算新星体C的机械能.,在径向：,可认为在A、B靠拢过程中质心未动.,所以C到太阳的距离为,在切向：,A、B合并过程中动量也守恒，,则有,研究式中的,v,A、,v,B,：,因A作圆运动，,疑难题解答研究,所以,利用，C星体的机械能为,因此，新星体C的轨道为椭圆.,题后思考,本题能不能直接判断？,E,A,m,），距离为,d,，在引力作用,下绕不动的质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为,M,的星体,损失质量,M,.假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用,力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约,束而不相互远离.,解,需计算爆炸后的总机械能.,如图，爆炸前两星绕质心旋转.,旋转的角速度 满足,爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（,M-,M,）位置、速度均不变.,无作用，故,m,的位置、速度也不变.,因爆炸对星体,m,也,旋转半径满足,新系统的质心C,还在两星连线上的原处吗？,新系统的质心C,还会静止吗？,新系统的势能为,新系统在新质心参照系中的动能为,由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为,注意到式中的,所以,进而得到系统在新质心系中的动能为,新系统仍被约束的条件是,题后思考,以后两星还绕新质心作圆运动吗?,(严格证明你的结论！),另解,用,二体问题,折合质量法,爆炸前：,两星折合质量,两星折合质量,等效的运动如图（a）.,旋转的速度,v,满足,爆炸后：,等效的运动如图（b）.,新系统的势能,新系统的动能,代入系统约束的条件,解得,（b）,（a）,题后思考,计算两体的引力势能时,为何不用折合质量？,两体问题,仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为,m,1,、,m,1,，相互作用力大小为,f,，,从,m,1,至,m,2,的矢径为 .,对,m,2,，由牛顿第二定律有,将（1）代入（2）：,则有,（3）式表明，若取,m,1,为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立）,，则在此参照系中,m,2,的运动完全相同于质量为,的质点在中心力 的作用下按牛顿第二,定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用.,取二者的质心C为参照系（惯性系）.设C到,m,1,的矢径为 .,有,“卫星怪象”问题,卫星（质量为,m,）与地球（质量为,M,）系统的总能量为,即,于是可知,对两端的变化量有,即,怪哉！,在总机械能减少（）时，,动能增加而势能却减少！？,该如何解释？,
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