阶常系数线性微分方程(IV)

E-mail:,高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多，本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果可以推广到二阶以上的线性微分方程。,定义 形如,的方程，称为二阶线性微分方程。,6,二阶常系数线性微分方程,当,f(x,),=0,时，,称为二阶齐次线性微分方程；,当,f(x),0,时，,称为二阶非齐次线性微分方程；,设,y,1,=,y,1,(,x,),y,2,=,y,2,(,x,),y,n,=,y,n,(,x,),是一组定义在区间,I,上的函数，如果存在,n,个不全为零的常数,k,1,k,2,k,n,使得,x,I,恒成立,k,1,y,1,+,k,2,y,2,+,+,k,n,y,n,=0,则称,y,1,y,2,y,n,是,线性相关,的,.,否则称它们是,线性无关,的,.,一、函数的线性无,(,相,),关定义,例,1.,sin,2,x,cos,2,x,1,在,R,上线性相关.,因,sin,2,x,+cos,2,x,1=0,例,2.,1,x,x,2,x,n-1,在,R,上线性无关.,证,:,若,k,0,k,1,k,n-1,使,k,0,+,k,1,x+,+,k,n-1,x,n1,=0,在,R,上成立,必有,k,0,=,k,1,=,=,k,n-1,=0.,命题,两个非零函数,y,1,y,2,在区间,I,上线性无关,二、二阶线性微分方程及其解的结构,n,阶常系数线性微分方程,的标准形式,二阶常系数齐次线性方程,的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程,的标准形式,(1),(2),如果,y,1,y,2,是齐次方程(,1,)的两个解,则,(i),y,=,y,1,+,y,2,也是(,1,)的解.,(ii),y,=,k,y,1,也是(,1,)的解.,证,:,(i),因,L,n,(,y,1,)=0,L,n,(,y,2,)=0,所以,L,n,(,y,)=,L,n,(,y,1,)+,L,n,(,y,2,)=0.,即,y,是(,1,)的解.,同理可证,(ii).,叠加原理,若,y,1,y,2,是二阶方程(,1,)的两个,线性无关,的解,则方程,(1),的通解为,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,其中,C,1,C,2,为任意常数,.,同理,若,L,n,(,y,)=0,有,n,个线性无关的解,y,1,y,2,y,n,则通解为,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,+,+,C,n,y,n,定理,1,定理,1,指出了二阶线性齐次方程的通解的结构：,通解是两个线性无关的特解的线性组合；,容易验证：,是二阶齐次线性方程,的两个特解，且线性无关；,所以 的通解为：,定理,2,设,y,*,是,方程(,2,)的解,y,是(,1,)的解,则,也是,(2),的解,.,y,*+,y,证,:,L,(,y,*+,y,)=,L,(,y,*)+,L,(,y,),=,L,(,y,*),=,f,(,x,),定理,2,指出了二阶非齐次线性方程的通解的结构：,非齐次线性方程的通解由两部分组成,:,一部分是对应的齐次方程的通解，,另一部分是非齐次方程自身的特解。,定理,3,L,(,y,)=,f,1,(,x,),和,L,(,y,)=,f,2,(,x,),的解,L,(,y,)=,f,1,(,x,)+,f,2,(,x,),的解,.,容易验证：设,是某二阶非齐次线性方程的解，求该方程的通解。,解,所以,Y,1,，,Y,2,线性无关，故通解为：,一般形式,二阶,由定理,1,可知，只要找出（,1,）的两个线性无关的特解,y,1,y,2,便可得方程（,1,）的通解,y=C,1,y,1,+C,2,y,2,三、二阶常系数齐次线性方程解法,（,1,）,设想,(1),有形式解,y=,e,rx,(,为什么?,),(2),r,2,+pr+q,=0,故有,(2),式称为,(1),的,特征方程,分三种情形讨论,(i),=,p,2,4,q,0,(2),有两个不等实根,r,1,r,2,.,(1),的通解为,代入得,(,r,2,+pr+q,),e,rx,=0,例,1.,求解方程,y,y,6,y,=0,的通解,.,解：,特征方程是,r,2,r,6=0,其根,r,1,=3,r,2,=,2,是两个相异实根,故所求通解为,y,=,C,1,e,3,x,+,C,2,e,2,x,.,(ii),=0,r,1,=,r,2,(=,r,),一特解为,得齐次方程的通解为,例,2,求解方程,4,y,+12,y,+9,y,=0,.,解：,特征方程是,4,r,2,+12,r,+9=0.,此方程有二重实根,故所求通解为,(iii),0,r,1,2,=,i,为一对共轭复根.,得,(1),的两个复数形式的解,Y,1,=,e,(,+,i,),x,Y,2,=,e,(,i,),x,由叠加原理,知,也是,(1),的解,且线性无关,故,(1),的通解为,例,3,求解方程,y,6,y,+13,y,=0.,解：,特征方程是,r,2,6,r,+13=0.,其根,r,1,2,=3,2,i,为一对共轭复根,故所求通解为,特征根,方程的通解,一对共轭复根,r,1,2,=,i,两个不等的实根,r,1,r,2,两个相等的实根,r,1,=,r,2,=,r,(,0),求二阶常系数齐次线性微分方程通解步骤：,Step1,：写出方程（,1,）的特征方程,Step2,：求出特征方程的两个根,r,1,r,2,Step3,：根据（,3,）的两个根的不同情况，按照下,表写出方程（,1,）的通解：,上述方法可推广到解,n,阶常系数齐次线性方程的情形,此时特征方程为,其特征方程的根对应微分方程的解的情况如下表,特征根,对应的线性无关的特解,(1),单实根,r,r,1,2,=,i,(2),k,重实根,r,(3),一对单复根,r,=,i,(4),一对,k,重复根,(,0),(,0),例,4,求解方程,y,(4),2,y,+5,y,=0.,解：,特征方程为,r,4,2,r,3,+5,r,2,=0.,对应线性无关的特解为,y,1,=1,y,2,=,x,y,3,=,e,x,cos2,x,y,4,=,e,x,sin2,x,故所求通解为,其根为,r,1,=,r,2,=0,r,3,4,=1,2,i,.,解：,特征方程,对应线性无关的特解为,y,1,=,e,2,x,y,2,=,e,x,y,3,=,xe,x,y,4,=,x,2,e,x,故所求通解为,例,5,求解方程,其根为,r,1,=,2,r,2,=,r,3,=,r,4,=,1,.,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点,：,如何求特解？,方法,：,待定系数法,.,四、二阶常系数非齐次线性方程的解法,类型,I,(*),设方程,(,*,),特解具有形式,则,代入,(*),并消去,e,x,(i),当,不是特征根,即,2,+,p,1,+,p,2,0,Q,(,x,),为,m,次多项式,(ii),当,是单实根,即,2,+,p,1,+,p,2,=0,但2,+,p,2,0.,Q,(,x,),是,m,+1,次多项式,取常数项为零.,Q,(,x,),=,x,Q,m,(,x,),(iii),是重根,即,2,+,p,1,+,p,2,=0,2,+,p,2,=0.,Q,(,x,),是,m,+2,次多项式,取常数项和一次项系数为零,Q,(,x,),=,x,2,Q,m,(,x,),总之,k,取0,1 或 2 视,不是特征根,是一重根或是二重根而定,Q,m,(,x,),与,P,m,(,x,),次数相同,为待定多项式.,例,6,求方程,y,+9,y,=,xe,5,x,的特解.,解：,特征方程是,r,2,+9=0,由于,=5不是特征方程的根,P,m,(,x,)=,x,可设特解为,y,*=(,ax,+,b,),e,5,x,代入原方程得,34,ax,+(10,a,+34,b,)=,x.,其根为,r,1,2,=,3,i,.,比较等式两边同次幂的系数，得,34,a,=1,10,a+,34,b=,0,解得,于是求得一个特解为,例,7,求方程,y,2,y,+,y,=,e,x,(1+,x,),的通解.,解：,特征方程是,r,2,2,r,+1=0,其根为,r,1,=,r,2,=1,，,对应齐次线性方程的通解为,：,因,=1,是特征方程的重根，,P,m,(,x,)=,x,+1,故特解形式为,：,代入原方程中得,所以,从而有一特解为,故原方程的通解为,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,练习,类型,II,当,i,不是特征根时,k,=0;,当,i,是一重特征根时,k,=1;,在不加推导的情况下,给出的,y,*,形式,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,.,例,8,求方程,y,+,y,=,x,cos2,x,的通解.,解：,特征方程为,r,2,+1=0,其根为,r,1,2,=,i,所以对应齐次线性方程的通解为,y,=,C,1,cos,x,+,C,2,sin,x,.,因,i,=2,i,不是特征方程的根,P,1,(,x,)=,x,Q,n,(,x,)0,故可设特解为,y,*=(,ax,+,b,)cos2,x,+(,cx,+,d,)sin2,x,y,*,=(4,ax,+4,c,4,b,)cos2,x,+(4,cx,4,a,4,d,)sin2,x,y,*,代入原方程，得,比较两端同类项的系数，得,解之得,于是求得一个特解为,因此方程的通解为,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（,取虚部）,例,9,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例,10,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（,取实部）,注意,小结,(,待定系数法,),只含上式一项解法,：,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式,.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（,重根）,