方阵的特征值与特征向量

*,第五章 相似矩阵,*,第五章 相似矩阵,5.1,方阵的特征值与特征向量,第五章 相似矩阵,5.1,方阵的特征值与特征向量,5.2,矩阵相似对角化,5.3 Jordan,标准形介绍,*,5.1,方阵的特征值与特征向量,一、问题的引入,二、基本概念,三、特征值与特征向量的求解方法,四、特征值的性质,五、特征向量的性质,一、问题的引入,矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，,如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域,中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭,代法求解等问题都会用到该理论。,一、问题的引入,引例,种群增长模型,设,x,代表某种群,C,的数量，,y,代表某种群,D,的数量，,初态为,一年后的状态为：,即,则第,k,年后的状态为：,问题,如何计算？,(,工业增长模型,),(,某国的工业增长水平,),(,该国的环境污染程度,),一、问题的引入,1.,初步设想,若存在一个可逆矩阵,P,，使得,则,进一步有,且这两个向量,必须,线性无关,且这两个向量,必须,线性无关,2.,简单分析,一、问题的引入,寻找一个可逆矩阵,P,，使得,即,记,则,对二阶方阵,A,寻找两个向量,它们被,A,左乘,后正好等于自,己的某个,倍数,一、问题的引入,3.,一般性问题的提出,对于方阵,A,，求向量,X,和,(,实,),数,l,，使得,比如，对于矩阵,则有,令,从而有,二、基本概念,定义,设,A,为,n,阶,方阵,，,如果存在数,l,和,n,维,非零,向量,X,则称数,l,为方阵,A,的,特征值,，,非零,使得,A,X,=,l,X,，,向量,X,称为,A,的属于特征值,l,的,特征向量,。,比如，若,X,是矩阵,A,的属于特征值,l,0,的特征向量，,(2),属于同一个特征值的特征向量,不是惟一,的。,则 也是,A,的属于特征值,l,0,的特征向量。,1.,特征值与特征向量,注意,(1),特征值,l,可以为零；,由 有,该方程组有,非零解,的充要条件是,分析,二、基本概念,1.,特征值与特征向量,2.,特征多项式,记,定义,则称 为方阵,A,的,特征多项式,；,称 为方阵,A,的,特征方程,。,特征多项式 是,l,的,n,次,多项式，,特征多项式“具体”形式,其中，称为,A,的,迹,，,即,记为,由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的,个数为特征方程的次数，,步骤,(1),求解特征方程 得到特征值。,值,(,重根按重数计算,),。,(2),设,l,=,l,i,是方阵,A,的一个特征值，,则,X,就是,A,的,求解齐次线性方,得到非零解,程组,对应于特征值,l,i,的特征向量。,三、特征值与特征向量的求解方法,因此,n,阶方阵有,n,个特征,例,求矩阵,的特征值与特征向量。,解,(1),A,的特征多项式为,故,A,的特征值为,(,单根,),(,单根,),(2),当 时，,求解得基础解系为,故,A,的属于特征值的 所有特征向量为,由 有,(3),当 时，,求解得基础解系为,故,A,的属于特征值的 所有特征向量为,由 有,解,(1),A,的特征多项式为,故,A,的特征值为,(,单根,),(,重根,),(2),当 时，,求解得基础解系为,故,A,的属于特征值的 所有特征向量为,由 有,(3),当 时，,求解得基础解系为,由 有,故,A,的对应于特征值 的所有特征向量为,例,求矩阵,的特征值与特征向量。,解,(1),A,的特征多项式为,故,A,的特征值为,(,单根,),(,重根,),求解得基础解系为,故,A,的对应于特征值 的所有特征向量为,(2),当 时，,由 有,(3),当 时，,由 有,求解得基础解系为,故,A,的对应于特征值 的所有特征向量为,解,设,l,是,A,的特征值，对应的特征向量为,X,，,则,即,又由,由 有,即得 或,例,设方阵,A,为幂等矩阵,(,即,),，,求,A,的特征值。,因此,有,设,n,阶方阵 的特征值为,则有,性质,1,四、特征值的性质,证明,由 有,又,两式比较即得性质成立。,结论,方阵,A,可逆,若 为,A,的特征值，,注,为,A,的特征值，,不能推出,，,设 为,A,的特征值，则有,性质,2,四、特征值的性质,(1),为 的特征值；,(3),若,A,可逆，则 为 的特征值。,(2),为 的特征值,证明,(1),由,(2),由,(3),由,为,A+B,的特征值，,为,A B,的特征值。,设 为,A,的特征值，则有,性质,3,四、特征值的性质,(1),为 的特征值；,(2),为 的特征值，,证明,(2),(,略,),。,(1),由,其中，,故矩阵,B,的特征值分别为,例,已知三阶矩阵,A,的特征值为,1,-,1,2,，,试求矩阵,B,的特征值以及,矩阵,解,(1),令,则,(2),例,设四阶方阵,A,满足：,求 的一个特征值。,解,(1),由,A,是四阶方阵且,知,A,可逆且有,由,可得,从而有,(2),又由,知,A,有一个特征值为,故,有一个特征值为,即得,有一个特征值为,性质,1,五、特征向量的性质,方阵,A,的一个特征值对应的特征向量的,非零,线性组合,仍为该特征值对应的特征向量。,则有,证明,设 是,A,的特征值 对应的两个特征向量，,即 是,A,的特征值 对应的特征向量。,注,方阵,A,的,一个,特征值对应的所有特征向量构成方阵,A,的,一个,特征子空间,。,但由于不包含零向量，因此严格地讲，,特征子空间并不是,向量空间,。,五、特征向量的性质,性质,2,属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,证明,下面用,数学归纳法,证明。,对应的特征向量，,(1),对于,令,(a),(b),由于,故有,同理可得,即性质对 时成立。,由 得,则有,设 是方阵,A,的不同特征值,令,则有,(c),(d),又由于,故有,代入,(d),可得,性质得证。,根据归纳法假设，有,(2),假设 时性质成立，,需证 时也成立,.,由 得,向量，证明 不是,A,的特征向量。,例,设 是,A,的两个不同的特征值 对应的特征,假设 是,A,的特征向量，,则存在 使得,证,由题意有,线性无关,，,且,由 线性无关，有,即,与 矛盾，,故 不是,A,的特征向量。,五、特征向量的性质,性质,3,方阵,A,的,s,个不同的特征值各自所对应的,s,组线性无关,的特征向量并在一起仍然是线性无关的。,证明,设,A,的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：,(,线性无关,),(,线性无关,),(,线性无关,),令,假设,则由,性质,1,可知 是 对应的特征向量，,再由,性质,2,与,上式,(,a,),可推出矛盾，,因此,又由 线性无关，有,故性质的结论成立。,记,对,式,(,a,),两端反复左乘,A,，,注,而直接借助范德蒙行列式可证：,则,(,a,),则不需要利用,性质,1,与,性质,2,，,对于,n,阶矩阵,A,，如果,l,0,是,A,的特征方程的,k,重根，,则矩阵,A,对应于特征值,l,0,的线性无关的特征向量的,五、特征向量的性质,性质,4,个数,证明,(,略,),表明,对于,n,阶矩阵,A,，不一定能找到,n,个线性无关的特征,向量，,除非对于,A,中的任意一个特征值，其线性无关,的特征向量的,个数,正好等于该特征值的,重数,。,例,求矩阵,的特征值与特征向量。,得到特征值为,附：,方阵在复数域内总存在特征值,但即使是,实,矩阵，,解,(1),令,(2),矩阵,A,对应于特征值 的特征向量分别为,其特征值及特阵向量不一定是,实,的。,可见，方阵在复数域内总有特征值，,