正态总体均值和方差的假设检验

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.2正态总体均值和方差的假设检验,F,检验 用,F,分布,一般说来，,按照检验所用的统计量的分布,分为,U,检验 用正态分布,t,检验 用,t,分布,检验,用,分布,这一节我们讨论正态总体的参数的假设检验问题,假设检验步骤,(四部曲),1.根据实际问题所关心的内容,建立,H,0,与,H,1,2.,在,H,0,为真时,选择合适的统计量,V,给定显著性水平,确定拒绝域,3.确,定拒绝域形式,4.,根据样本值计算,并作出相应的判断.,一、正态总体均值的检验,1、,2,已知的情形U检验,构造统计量,根据给定的检验水平,，查表确定分位数,在,H,0,成立的条件下,例,1,某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5,cm,标准差是0.15,cm,今从一批产品中随机的抽取15段进行测量,其结果如下:,假定切割的长度X服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常?,解,因为,要假设检验,查表得,故接受,H,0,，认为该机工作正常,2、,2,未知的情形,t,检验,由,P,|,t,|,t,/2,(,n,1)=,得检验水平为,的拒绝域为,|,t,|,t,/2,(,n,1),例2,某种片剂药物中成分,A,的含量规定为10，现抽验该药物一批成品中的五个片剂，测得其中成分,A,的含量分别为0.1090，0.0945，0.1038，0.0961，0.0992，假设该药物中成分,A,的含量,X,服从正态分布，问在5的显著性水平下，抽验结果是否与片剂中成分,A,的含量为10要求相符？,解,依题意，该批药物中成分,A,的含量,X,服从正态分布,N,(,，,2,)，其中,，,2,均为未知。问题化为在,0.05的显著性水平下的检验假设,H,0,:,=0.10,H,1,:,0.10,n,5，计算可得样本均值和样本方差,检验统计量为,计算得,t,0.1970,查表得,t,/2,(4),=,t,0.025,(4)=2.7764,由于|,t,|0.1970,t,/2,(4)=2.7764,故没有理由拒绝,H,0,，即认为该批药物片剂中成分,A,的含量与规定含量10没有显著差异。,3、,两个正态总体均值差的检验,t,检验,我们可以用,t,检验法检验具有,相同方差,2,（未知）的两个总体均值差的假设。给定显著性水平,，设 是来自正态总体 的样本，是来自正态总体 的样本，且设两样本独立，分别记它们的样本均值为 ，样本方差为 。其中 均为未知。现在来求检验问题：,的拒绝域,对于给定的检验水平,构造统计量，,特别地，当,0时，假设检验,H,0,：,1,=,2,，,H,1,：,1,2,是经常遇到的情况。,当,H,0,为真时,当方差,1,2,2,2,已知时，用,U,检验法，构造统计量,取显著性水平,得拒绝域为,例3,从人群中任选8名成年男子和7名成年女子做膝关节反射强度试验，测得反射强度分别为（单位:弧度）：,男子：31 19 22 26 36 30 33 29,女子：30 14 19 29 31 26 19,假定男子的膝关节反射强度,P,和 女子膝关节反射强度,R,都服从正态分布，且方差相同，试问可否认为男子较女子膝关节反射强度多4弧度（,0.05）,解,依题意，要假设检验,计算可得,进而,查表得,t,0.025,（13）2.1604,由于|,t,|0.079 2.1604,所以接受,H,0,，即认为成年男子的膝关节反射强度比成年女子的反射强度大4弧度。,4、,基于成对数据的检验,t,检验,在许多场合需要比较两种产品，两种状态，两种方法等的差异，我们常需要在相同条件下作对比试验，得到一批成对的观察值。然后由此作出统计推断。注意此时不能按3中的方法处理，因为两种状态下得到的样本常常是不独立的。为进一步说明，设两种状态下得到的样本为,个体,状态,个体,i,的两个数值,x,i,与,y,i,是相关的（如比较人的身高与坐高，二者是高度相关的），这样就不能保证 与 这两组样本的独立性。但由抽样本身可知,是独立的.假定两指标的差服从正态分布。令,d,i,=,x,i,-,y,i,i,=1,2,n,认为,d,1,d,2,d,n,是来自正态总体,N,(,d,2,),d,和,2,均为未知，问题化为要检验假设 的问题,这个问题已在2中讨论过，其拒绝域为,例,4,有两台光谱仪,I,x,I,y,用来测量材料中某种金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著差异,制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同),现在分别用这两台机器对每一试块测量一次,得到9对观察值如下:,问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?,解,依题意，,d,X,Y,服从正态分布,N,(,d,2,),d,1,d,2,d,n,是它的一个样本，需检验假设,选取检验统计量为,认为这两台仪器的测量结果无显著的差异.,二、正态总体方差的检验,1、,单个总体的情况,2,检验,设总体 未知，是来自总体,X,的样本，现要检验假设（显著性水平为,）,由上,分位点的定义可知,得显著性水平为,的拒绝域为,例3,由以往管理生产过程的大量资料表明某自动机床产品的某个尺寸,X,服从正态分布，其标准差为,0,10.00毫米，并且把,0,10.00毫米定为机床精度的标准。为控制机床工作的稳定性，定期对其产品的标准差进行检验：每次随机地抽验9件产品，测量结果为,x,1,x,2,x,9,。试制定一种规则，以便能根据样本标准差,s,的值判断机床的精度（即标准差）有无变化（显著性水平为,0.05）？,解,依题意，所考虑的产品指标,X,服从正态分布。要根据,s,的值检验假设,当,H,0,为真时，,2,服从自由度为8的,2,分布,对于,0.05，,查表得,则拒绝域为,求检验统计量为,即,每当测得,s,的值小于5.220或大于14.805时，就认为机床的精度发生了变化。应引起注意，并分析原因。,2、,两个总体方差齐性（相等）的假设检验,F,检验,设总体,X,服从正态分布,N,(,1,1,2,),总体,Y,服从正态分布,N,(,2,，,2,2,),其中,1,，,2,未知。是来自总体,X,的样本，是来自总体,Y,的样本，并且两样本相互独立。,检验假设,构造统计量，,当,H,0,为真时,当,H,0,为真时,由上,分位点的定义可知,得显著性水平为,的拒绝域为,两个正态总体方差齐性（相等）的假设检验问题，可一般化为两个正态总体方差比值为一常数的假设检验问题：,这时在,H,0,为真时取检验统计量,对给定显著性水平,，类似地可得的拒绝域为,例4,有两批同类型电子元件，从两批电子元件中各抽取若干作电阻测试，测得结果如下（单位：,）,第一批 0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137，0.139,第二批 0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141,假定电子元件的电阻服从正态分布，取显著性水平0.05，问,（1）两批电子元件的电阻的方差有无显著差异？,（2）两批电子元件的平均电阻是否相等？,解,依题意，两总体,X,和,Y,服从正态分布,未知,计算可知,（1）需检验假设,因而,对给定的0.05，查表得,对给定的0.05，查表得,于是,由于,故接受,H,0,，即认为两批电子元件的电阻的方差无显著差异。,（2）由（1）的结论有,假设检验,计算可知,对给定的0.05，查表得,由于,所以接受,H,0,，即认为两批电子元件的平均电阻没有显著差异。,习题课,各种情况的正态总体参数的检验总结于下,原假设,H,0,备择假设,H,1,检验统计量及其,H,0,为真时的分布,拒绝域,0,0,条件,0,0,各种情况的正态总体参数的检验总结于下,原假设,H,0,备择假设,H,1,检验统计量及其,H,0,为真时的分布,拒绝域,例1,某厂生产一种电子元件，其使用命服从正态分布 ,某日从该厂生产的一批这种电子元件中随机抽取16个，测得样本均值 ，假定电子元件寿命的方差不变，问能否认为该日生产的这批电子元件的寿命均值为?,解：,可取统计量 ，,在 成立时，,由 已知，的拒绝域为,利用样本观察值，得 ，,1.对 ，有 ，,拒绝 ，接受 .,2.对 ，有 ，,接受 ，拒绝 .,注：,对不同的检验的显著性水平 ，同一 个问题可能会得到不同的检验结果。,因此，假设检验必须先给定显著性水,平 .,例2,已知某炼铁厂的铁水含碳量 服,从正态分布，,均值 .某日随,机测得7炉铁水，算得平均含碳量，,样本标准差 .以显著,性水平 检验这天铁水含碳量,的均值是否显著变化？,由题意，应取统计量,设,H,0,:,=,4.40,；,H,1,:,对 查表得，,而,接受 ，铁水含碳量有显著变化。,解,根据题意检验假设可设为,自动车床加工某种零件，其直径 （单位：,）服从正态分布，,要求 .某天开工后，随机抽取30件,算得样本方差为,，,检验这天加工的零件是否符合要求?(取显著性水平 ）,解,根,拒,据题目要求，本题检验假设为,H,0,:,2,=,0.09；,H,1,:,.,则取统计量为,例3,拒绝域,为,由样本值算得,所以，接受 .即认为,零件,直径的,方差,符合要求。,例4,某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，,分别抽取10个灯泡进行寿命试验。计算得,到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为,2460(,h,)，样本标准差为56(,h,);采用新工,艺后灯泡寿命的样本均值为2550(,h,)，样,本标准差为48(,h,)。设灯泡的寿命服从正态,分布，由此检验采用新工艺前后灯泡寿命,的方差有无显著变化？,（取显著性水平 ）,01,.,0,=,a,解,设采用新工艺前、后的灯泡寿命分别,用 ,表示 .,检验假设为,取统计量,),(,2,x,x,N,X,s,m,),(,2,y,y,N,Y,s,m,2,2,2,2,0,y,x,y,x,H,s,s,s,s,=,；,：,2,2,y,x,S,S,F,=,在 成立时，,对显著性水平 ，查表得,的拒绝域为，,或,由样本值得,于是，,所以,接受 ,拒绝 ,即可以认为采,用新工艺前、后灯泡寿命的方差不变。,