分类加法计数原理与分步乘法计数原理(用)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1分类计数原理与分步计数原理,水若长流能成河，山以积石方为高,2012年3月19日 数学组,实际问题,从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？,要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理,分类计数原理与分步计数原理,导入新课,甲地,乙地,丙地,丁地,问题一：,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法,？,因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：325（种）,1.1分类计数原理与分步计数原理,能,3种 2种,2类,从甲地到乙地,3+2=5种,完成这件事情共有多少种不同的方法,每类,方案中分别有几种不同的方法,每类,方案中的任一种方法能否独立完成这件事情,完成这个事情的方法有,几类,方案,要做的一件事情是什么,问题剖析,对问题1的分析：,1、分类计数原理,定义,（加法原理）,做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m,1,种,不同的方法,在第二类办法中有m,2,种不同的方法，,在第n类办法中有m,n,种不同的方法。那么完成这件事共有,N=m,1,+m,2,+m,n,种不同的方法。,有60种取法。,因此取法种数共有,40+60=100（种）,例1：,两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，,从中任取一个球，有多少种求法？,解：取一个球的方法可以分成两类：,一类是从装白球的袋子里取一个白球,有40种取法；,另一类是从装红球的袋子里取一个红球,40个,60个,问题2,：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,A村,B村,C,村,北,南,中,北,南,解：从A村经 B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以 从A村经 B村去C村共有 3 2=6 种不同的方法。,问题剖析,我们要做的一件事情是什么,完成这个事情需要分,几步,每步,中的任一方法能否独立完成这件事情,每步,方法中分别有几种不同的方法,完成这件事情共有多少种不同的方法,从A村经B村去C村,2步,不能,3种 2种,32=6种,A村,B村,C,村,北,南,中,北,南,对问题2的分析：,2、分步计数原理,定义：,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m,1,种不同的方法，做第二步有m,2,种不同的方法，做第n步有m,n,种不同的方法，那么完成这件事有,N=m,1,m,2,m,n,种不同的方法,。,（乘法原理）,例2：,两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，,从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？,60个,40个,解：取一个白球和一个红球可以分成两步,来完成：,第一步从装白球的袋子里取一个白球，,有60种取法；,因此取一个白球和一个红球的方法共有,60 40=2400（种）,第二步从装红球的袋子里取一个红球，,有40种取法。,分类计数原理与分步计数原理有什么不同？,分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：,分类计数原理与“分类”有关，各种方法,相互独立,，,用其中任何一种方法都可以完成这件事；,分步计数原理与“分步”有关，各个步骤,相互依存,，,只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,分步乘法,分类加法,共同点,区别一,完成一件事情共有n类,方案。,完成一件事情,共分n个,步骤。,区别二,每类中的任一种方法都,能,独立完成,这件事情。,每步要而且只要拿出一种方法,就可以完成一件事情。,都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。,分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：,例3：,某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。,(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？,(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,解:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有 m,1,=5 种,不同的方法;,第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有 m,2,=4 种不,同的方法;,所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有,N=5+4=9 种。,例3：,某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。,(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？,(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,解:,(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有 m,1,=,5 种方法;,第二步,选一名女三好学生,有 m,2,=4 种方法;,所以,不同选法种数共有 N=5 4=20 种。,点评:解题的关键是从总体上看这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”，“分类完成”用“加法原理”，“分步完成”用“乘法原理”。,1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同,的文艺书，第3层放有2本不同的体育书,（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？,（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？,4+3+2=9（种）,4 3 2=24（种）,2、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？,（各位上的数字不重复）,6 5 4 3=360（个）,3、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个,数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？,10 10 10 10=10,4,练习1,有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理请看下面的例题：,注意,例4：,某城市电话号码由8位组成，其中从左边算起的第1位只用,6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，2，,9中任意,选取，允许数字重复。试问：该城市最多可装电话多少门？,1,2,3,4,5,6,7,8,第1类,6,解：装一门电话需要指定一个,电话号码，由题意电话号码可以,分成两类：,第1类电话号码第1位用6，,确定其余7位号码可以分7步完成。,10,10,10,10,10,10,10,因此第一类电话号码共有,10,10 10 10 10 10 10=10,7,1,2,3,4,5,6,7,8,第2类,8,同理，第2类电话号码也有10 个，,7,因此，该城市所用的电话号码共有10+10=2 10 个,从而最多可装电话2 10 门，即两千万门。,7,7,7,7,实际问题,从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，,问：从甲地到丁地有多少种走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解：要完成从甲地到丁地这件事情有,两种路线可以走，即可以分为两类：,甲地 乙地 丁地,甲地 丙地 丁地,第一类又可以分为两步，第一步有3种,方法，第二步有2种方法，因此第一类,走法有3 2=6（种）,同理第二类走法有3 4=12（种）,所以，从甲地到丁地有6+12=18种走法。,1有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？,2集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 从A,B 中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标,（1）可以得到多少个不同的点？,（2）这些点中，位于第一象限的有几个？,3某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？,4.集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,从A到B的映射有多少个？,讲讲练练,979575143,344324,22228,333381,333381,小结,请同学们回答下面的问题,:,1.本节课学习了那些主要内容？,答:分类计数原理和分步计数原理。,2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？,答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法。,不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。,再见,