非周期函数的傅立叶级数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,湖南大学理科通识阶段教育课程,无穷级数,微积分（二）,第七讲,非周期函数的傅立叶级数,学习要求,对于,概念,和,理论,方面的内容，从高到低分别用,“,理解,”、“,了解”,、“,知道,”三级来表述；,对于,方法,，,运算,和,能力,方面的内容，从高到低分别用,“,熟练掌握,”、“,掌握,”、“,能,”（或“,会,”）三级来表述。,知道,函数展开为傅里叶级数的充分条件。,能,将周期函数及定义在 和 上的非周期函数展开为傅里叶级数，,能,将定义在 和 上的函数展开为正弦或余弦级数。,第九章 无穷级数,第五节,傅立叶级数,非周期函数的傅立叶级数,非周期函数的傅立叶级数,一、非周期函数的,周期性延拓,二、奇延拓和偶延拓,三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数,对于非周期函数,如果函数,只在,区间,上有定义,并且满足狄立克,雷充分条件,也可展开成傅立叶级数,.,一、非周期函数的周期性延拓,设非周期函数 在 上有定义，则函数,称为非周期函数 的,周期延拓,，,的周期函数，并且在 上有,延拓后的函数 在 上是周期为,解,所给函数满足狄利克雷充分条件,.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在,收敛于,.,所求函数的傅立叶级数展开式为,推广:利用傅立叶级数展开式求出几个特殊级数的和,二、非周期函数的奇偶延拓,则有如下两种情况,1.奇延拓,2.偶延拓,解,(,1)求正弦级数,.,(,2)求余弦级数,例,4,把,展开成,(1),正弦级数,;(2),余弦级数,.,解:,(1),将,f,(,x,),作,奇,周期延拓,则有,(2)将,作,偶,周期延拓,则有,说明,:,此式对,也成立,由此还可导出,据此有,三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数,当函数定义在,任意有限区间,上时,方法,1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法,:,方法,2,在,上展成,正弦,或,余弦,级数,奇,或,偶,式周期延拓,将 代入展开式,在,令,即,上的,正弦,或,余弦,级数,解,一般而言，,奇延拓的收敛域不包括端点,偶延拓的收敛域包括端点,四、小结,1,以,2L,为周期的傅氏系数,;,2,利用变量代换求傅氏展开式,;,3,求傅氏展开式的步骤,;,（,1,）,.,画图形验证是否满足狄氏条件,(,收敛域,奇偶性,);,（,2,）,.,求出傅氏系数,;,（,3,）,.,写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于,4,非周期函数的展开,奇函数和偶函数的傅氏系数,;,正弦级数与余弦级数,;,非周期函数的周期性延拓,;,5,、需澄清的几个问题,.(,误认为以下三情况正确,),a.,只有周期函数才能展成傅氏级数,;,