3.1 空间直角坐标系与向量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,空间直角坐标系与向量,3.1.1.,空间直角坐标系,3.1.2.,向量的概念,3.1.3.,向量的线性运算,3.1.4.,向量在轴上的投影,3.1.5.,方向余弦,3.1.1,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系,.,z,y,x,o,x,轴:,横轴；,y,轴：纵轴；,z,轴：竖轴,o,x,y,z,符合右手系,.,o,x,y,z,o,x,y,z,不符合 右手系,.,空间直角坐标系共有,八个卦限,yoz,面,zox,面,xoy,面,空间的点,M,有序数组,(,x,y,z,),特殊点的表示,:,坐标轴上的点,P,Q,R,坐标面上的点,A,B,C,.,向量：,既有大小又有方向的量,.,以,A,为起点，,B,为终点的有向线段,.,向量的模：,向量的大小,.,单位向量：,模为,1,的向量,.,零向量：,模为,0,的向量,.,(,模又称为,长度或范数,),A,B,向量的表示：,AB,|AB|,a,3.1.2,向量的概念,零向量没有确定的方向,.,自由向量：,不考虑起点位置的向量,.,向量的坐标表示：,把向量 作平行移动，使其起点与原点重合。,设其终点,A,的坐标为,(,a,1,a,2,a,3,),则称,a,1,a,2,a,3,为向量 的分量或坐标，,记为,=(,a,1,a,2,a,3,).,OA,=,a,1,=,b,1,a,2,=,b,2,a,3,=,b,3,.,设,=(,a,1,a,2,a,3,),=(,b,1,b,2,b,3,),相等向量：,大小相等且方向相同的向量,.,向量的模：,设,A,=(,a,1,a,2,a,3,),利用勾股定理从图中可得,|OA|,定义,设,=(,a,1,a,2,a,3,),=(,b,1,b,2,b,3,),+,称为,加法,，,k,称为,数乘,.,加法与数乘统称为,线性运算,.,+,=(,a,1,+,b,1,a,2,+,b,2,a,3,+,b,3,),k,=,(,k,a,1,ka,2,ka,3,).,3.1.3,向量的线性运算,减法：,-,=,+,（,-,）,=,(,a,1,-,b,1,a,2,-,b,2,a,3,-,b,3,).,负向量：,大小相等但方向相反的向量,.,向量线性运算满足的运算规律,(1),+,=,+,;,(2)(,+,)+,=,+(,+,);,(3),+,0,=,;,(4),+(-,)=0;,(5)1,=,;,(6),K,(,l,)=(,k l,),;,(7),k,(,+,)=,k+k,;,(8)(,k+l,),=,k +l,.,例,化简,解,1.,向量,加法,运算的几何意义,平行四边形法则,是以,为边的平行四边形的对角线,.,2.,向量,减法,运算的几何意义,3.,向量,数乘,运算的几何意义,伸缩变换,|,kOA,|,|OA|,3.,向量,数乘,运算的几何意义,伸缩变换,|,kOA,|,|OA|,(2),k,=0,(3),k,0,与,同向；,例,证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半,.,证,设,DE,是中位线，,DE=DA+AE,=,BC.,=,BA+AC,=,(,BA+AC,),A,B,C,E,D,例,用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形,.,证,与,平行且相等,结论得证,.,例,非零向量单位化,设向量,则,4.,基向量与线性表出,单位向量,称为,基向量,.,=,(,a,1,a,2,a,3,),=,(,a,1,0,0,)+(0,a,2,0,)+(0,0,a,3,),称,可由,线性表出,。,x,y,z,O,5.,向量平行,(,向量共线,),解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,.,或,3.1.4,向量在轴上的投影,1.,空间一点在轴上的投影,2.,向量在轴上的投影,过空间点,A,B,作垂直于轴,u,的平面，,与轴,u,交于,B,点,，于是,向量,AB,在轴,u,上的投影定义为,AB,|AB|,AB,与,u,同向,-|AB|,AB,与,u,反向,向量,OA,的坐标,a,1,a,2,a,3,分别是,在三个坐标轴上的投影,.,OA,解,例,3.,空间两向量夹角的概念：,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在,0,与 之间任意取值,.,4.,向量在轴上的投影有以下两个性质：,u,上的投影等于向量的模乘以,(1),向量,AB,在轴,向量与轴的夹角的余弦：,证,投影为负；,投影为零；,投影为正；,(2,）,5.,空间上两点间距离公式,特别，若两点分别为,解,：,原结论成立,.,解,设,P,点坐标为,所求点为,非零向量 与三条坐标轴正向的夹角称为,方向角,.,3.1.5,方向余弦,称为向量,的,方向余弦,.,由图示可知,a,1,方向余弦的特征,特别，,单位向量的方向余弦为,解,解,例,